Matematické věty a jejich důkazy

Matematika onlineZáklady matematikyMatematické věty a jejich důkazy – definice pojmů: axiomy, soustava axiomů, důkazy matematických vět, příklady definice.

Obsah článku

Matematické věty a jejich důkazy - Základy matematiky
Matematické věty a jejich důkazy

Axiomy, soustava axiomů

Axiom

Jde o pravdivý matematický výrok, který nedokazujeme.

Soustava axiomů

Soustava axiomů musí být:

    • Bezesporná – nelze z ní vyvodit výrok a zároveň jeho negaci.
    • Nezávislá – nelze vyvodit jeden axiom z ostatních axiomů.
    • Úplná – ze soustavy axiomů lze vyvodit pravdu nebo nepravdu libovolného matematického výroku, který není axiomem.

Příklad axiomu:

    • Přímka je dána dvěma body.
    • Rovina je určena třemi body, které neleží na jedné přímce.

Definice

Slouží k zavedení nových matematických pojmů. Stanoví název nového pojmu a určí jeho charakteristické vlastnosti pomocí pojmů základních popřípadě zavedených.

Příklad definice:

Kružnice je množina bodů, které mají od určeného bodu (středu) stejnou vzdálenost.

Matematické věty

Matematická věta je pravdivý matematický výrok, který je možné logicky odvodit z axiomů, definic a dříve dokázaných vět. Věty slouží k budování matematické teorie i k využití matematických poznatků v praxi.

Důkazy matematických vět

Logický proces, kterým se ověřuje platnost matematické věty pomocí axiomů, definic a dříve dokázaných vět se nazývá důkaz matematické věty.

Přímý důkaz

Implikace A->B, provádí se pomocí řetězce pravdivých implikací.

Nepřímý důkaz

Implikace A->B, provádíme stejně jako přímý důkaz její obměny B‘->A‘ neboť obě jsou ekvivalentní.

Důkaz sporem

Se provádí tak, že se daný výrok neguje a pomocí řetězce implikací se dospěje k logickému sporu. Z sporu vyplývá, že negování tvrzení neplatí, musí tedy platit původní výrok.

Matematickou indukcí

Důkaz matematickou indukcí se skládá ze dvou kroků:

První krok: V tomto kroku se dokáže, že tvrzení platí pro n = 1.

Indukční krok: Ukážeme, že pokud tvrzení platí pro n = m, pak platí i pro n = m + 1 (Část následující bezprostředně po pokud se někdy nazývá indukční předpoklad).

Angličtina online a zdarma – máte úkol do angličtiny?

Nejlepší Anglina.uNas.cz – o angličtině zde najdete vše na co si vzpomenete – gramatika, testy na procvičení, fráze, slovíčka.