Operace s komplexními čísly

Matematika online (hlavní strana) – Komplexní čísla – Operace s komplexními čísly – jsou rovnost, sčítaní, odčítání, násobení, dělení, opačné komplexní číslo, komplexní číslo sdružené, absolutní hodnota komplexního čísla. U všech si ukážeme základní vzorce a také řešené příklady pro všechny operace s komplexními čísly.

Obsah článku

Operace s komplexními čísly - Matematika online - www.Math.Kvalitne.cz Komplexní čísla -
Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz Komplexní čísla – Operace s komplexními čísly

Operace s komplexními čísly – Rovnost

Rovnost dvou komplexních čísel z1 =  a1 +i*b1 a z2 =  a2 +i*b2 nastane jestliže se rovnají jak reálné části komplexního čísla, tak imaginární části komplexního čísla. Tedy z1 = z2 jestliže a1 = a2 a b1 = b2.

Operace s komplexními čísly – Součet

Součet komplexních čísel z1 = a1 + i*b1 a z2 = a2 + i*b2 vypočítáme podle následujícího vzorce: z1 + z2 = (a1 + a2) + i*(b1 + b2).

Operace s komplexními čísly – Rozdíl

Rozdíl komplexních čísel z1 = a1 + i*b1  a   z2 = a2 + i*b2.   vypočítáme podle následujícího vzorce:  z1 – z2 = (a1 – a2) + i*(b1 – b2).

Operace s komplexními čísly – Součin

Součin komplexních čísel z1 = a1 + i*b1 a z2 = a2 + i*b2. vypočítáme podle následujícího vzorce: z1 * z2 = (a1*b1) + i*(a1*b2) + i*(a2*b1) + i2*(a2*b2) =. (a1*b1 – a2*b2)+ i*(a1*b2 + a2*b1).

Operace s komplexními čísly – Dělení

Podíl komplexních čísel z1 = a1 + i*b1 a z2 = a2 + i*b2.  vypočítáme podle následujícího postupu:  z/ z=  (a1 + i*b1) / (a2 + i*b2). nejprve celý zlomek vynásobíme dalším zlomkem, který má jak v čitateli tak ve jmenovateli komplexní číslo sdružené k komplexnímu číslu z2, které je ve jmenovateli původního zlomku.

z/ z=  ( (a1 + i*b1) / (a2 + i*b2) )*( (a2 – i*b2) / (a2 – i*b2) ) .=

= (a1*b1 – a2*b2) .+ i*(a1*b2 + a2*b1) / ( a1*a2 +b1*b2 ).

Výsledkem této operace je, že z jmenovatele zmizí komplexní jednotka i. Pak se tedy můžeme zbavit zlomku tím, že vydělíme reálnou i imaginární část čitatele číslem ve jmenovateli.

Opačné komplexní číslo

Opačné komplexní číslo k číslu z1 = a1 + i*b1. je číslo -z2 = -(a2 + i*b2) = – a2 – i*b2.

Pokud zobrazíme dvě opačná komplexní čísla do Gausovy roviny budou tyto komplexní čísla souměrná podle počátku [0,0]. Je to dáno tím, že opačné komplexní číslo má obě znaménka opačná než komplexní číslo původní.

Číslo komplexně sdružené

Komplexně sdružené číslo k číslu z1 = a1 + i*b1.je číslo z2 = (a2 – i*b2).

Pokud si vykreslíme dvě komplexní čísla, které jsou navzájem sdružená do Gausovy roviny pak vidíme, že jsou osově souměrná podle osy x. Jak je vidět z předchozího vztahu pro komplexně sdružená čísla měníme pouze znaménko u imaginární části komplexního čísla. Proto bude mít i komplexně sdružené číslo stejnou vzdálenost od osy x jako komplexní číslo původní.

Absolutní hodnota komplexního čísla

Absolutní hodnotu čísla z1 = a1 + i*b1 .vypočítáme |z1| = √( a12 +b12).

Geometrický význam absolutní hodnoty komplexního čísla lze jednoduše vysvětlit jako vzdálenost od počátku, tedy od souřadnic [0, 0] v Gausově rovině. Pokud by jsme si vykreslili množinu všech komplexních čísel o stejné absolutní hodnotě do Gausovy roviny dostaly bychom kružnici o poloměru |z|.

Absolutní hodnota rozdílu dvou komplexních čísel je vyjádření vzdálenosti těchto komplexních čísel v Gausově rovině.

Reciproké (převrácené) komplexní číslo

Některá komplexní čísla se nazývají navzájem reciproká (převrácená). Znamená to, že jejich absolutní hodnoty jsou navzájem převrácená čísla a zároveň jejich argumenty se liší pouze znaménkem.

Řešené příklady

Seznam řešených příkladů:
001 – Řešený příklad číslo 001
002 – Řešený příklad číslo 002
003 – Řešený příklad číslo 003
004 – Řešený příklad číslo 004
005 – Řešený příklad číslo 005
006 – Řešený příklad číslo 006
007 – Řešený příklad číslo 007
008 – Řešený příklad číslo 008
009 – Řešený příklad číslo 009
010 – Řešený příklad číslo 010
011 – Řešený příklad číslo 011
012 – Řešený příklad číslo 012
013 – Řešený příklad číslo 013
014 – Řešený příklad číslo 014
015 – Řešený příklad číslo 015
016 – Řešený příklad číslo 016
017 – Řešený příklad číslo 017
018 – Řešený příklad číslo 018
019 – Řešený příklad číslo 019

 

Řešený příklad číslo 001

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 002

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 003

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 004

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 005

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 006

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 007

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 008

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 009

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 010

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 011

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 012

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 013

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 014

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 015

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 016

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 017

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 018

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 019

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

Pokračovat ve studiu na Matematika online:

Angličtina online a zdarma:

Nejlepší Anglina.uNas.cz – potřebujete se rychle naučit anglicky? Tyto stránky Vám s tím jistě pomohou. Veškerá anglická gramatika od začátečníků až po pokročilé. Možnost ověřit si znalosti v našich testech rychle a zdarma. Nebo si jen tak procvičovat před písemkou…