Operace s komplexními čísly - Matematika online na www.Math.Kvalitne.cz

Matematika online (hlavní strana) – Komplexní čísla – Operace s komplexními čísly – jsou rovnost, sčítaní, odčítání, násobení, dělení, opačné komplexní číslo, komplexní číslo sdružené, absolutní hodnota komplexního čísla. U všech si ukážeme základní vzorce a také řešené příklady pro všechny operace s komplexními čísly.

Obsah článku

Operace s komplexními čísly - Matematika online - www.Math.Kvalitne.cz Komplexní čísla - — Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz Komplexní čísla – Operace s komplexními čísly

- Rovnost komplexních čísel
- Součet komplexních čísel
- Rozdíl komplexních čísel
- Součin komplexních čísel
- Dělení komplexních čísel
- Opačné komplexní číslo
- Číslo komplexně sdružené
- Absolutní hodnota komplexního čísla
- Převrácené komplexní číslo
- Řešené příklady

Operace s komplexními čísly – Rovnost

Rovnost dvou komplexních čísel z₁ = a₁ +i*b₁ a z₂ = a₂ +i*b₂nastane jestliže se rovnají jak reálné části komplexního čísla, tak imaginární části komplexního čísla. Tedy z₁ = z₂ jestliže a₁ = a₂ a b₁ = b₂.

Operace s komplexními čísly – Součet

Součet komplexních čísel z₁ = a₁ + i*b₁ a z₂ = a₂ + i*b₂vypočítáme podle následujícího vzorce: z₁ + z₂= (a₁ + a₂) + i*(b₁+ b₂).

Operace s komplexními čísly – Rozdíl

Rozdíl komplexních čísel z₁ = a₁ + i*b₁ a z₂ = a₂ + i*b₂_.vypočítáme podle následujícího vzorce: z₁ – z₂= (a₁ – a₂) + i*(b₁– b₂).

Operace s komplexními čísly – Součin

Součin komplexních čísel z₁ = a₁ + i*b₁ a z₂ = a₂ + i*b₂_.vypočítáme podle následujícího vzorce: z₁ * z₂= (a₁*b₁) + i*(a₁*b₂) + i*(a₂*b₁) + i²*(a₂*b₂) =_. (a_1*b₁ – a₂*b₂)+ i*(a₁*b₂ + a₂*b₁).

Operace s komplexními čísly – Dělení

Podíl komplexních čísel z₁ = a₁ + i*b₁ a z₂ = a₂ + i*b₂_.vypočítáme podle následujícího postupu: z₁/ z₂= (a₁ + i*b₁) / (a₂ + i*b₂)_. nejprve celý zlomek vynásobíme dalším zlomkem, který má jak v čitateli tak ve jmenovateli komplexní číslo sdružené k komplexnímu číslu z₂, které je ve jmenovateli původního zlomku.

z₁/ z₂= ( (a₁ + i*b₁) / (a₂ + i*b₂) )*( (a₂ – i*b₂) / (a₂ – i*b₂) ) _.=

= (a_1*b₁ – a₂*b₂) _.+ i*(a₁*b₂ + a₂*b₁) / ( a₁*a₂ +b₁*b₂).

Výsledkem této operace je, že z jmenovatele zmizí komplexní jednotka i. Pak se tedy můžeme zbavit zlomku tím, že vydělíme reálnou i imaginární část čitatele číslem ve jmenovateli.

Opačné komplexní číslo

Opačné komplexní číslo k číslu z₁ = a₁ + i*b₁_. je číslo -z₂ = -(a₂ + i*b₂) = – a₂ – i*b₂.

Pokud zobrazíme dvě opačná komplexní čísla do Gausovy roviny budou tyto komplexní čísla souměrná podle počátku [0,0]. Je to dáno tím, že opačné komplexní číslo má obě znaménka opačná než komplexní číslo původní.

Číslo komplexně sdružené

Komplexně sdružené číslo k číslu z₁ = a₁ + i*b₁_.je číslo z₂ = (a₂ – i*b₂).

Pokud si vykreslíme dvě komplexní čísla, které jsou navzájem sdružená do Gausovy roviny pak vidíme, že jsou osově souměrná podle osy x. Jak je vidět z předchozího vztahu pro komplexně sdružená čísla měníme pouze znaménko u imaginární části komplexního čísla. Proto bude mít i komplexně sdružené číslo stejnou vzdálenost od osy x jako komplexní číslo původní.

Absolutní hodnota komplexního čísla

Absolutní hodnotu čísla z₁ = a₁ + i*b₁_.vypočítáme |z₁| = √( a₁² +b₁²).

Geometrický význam absolutní hodnoty komplexního čísla lze jednoduše vysvětlit jako vzdálenost od počátku, tedy od souřadnic [0, 0] v Gausově rovině. Pokud by jsme si vykreslili množinu všech komplexních čísel o stejné absolutní hodnotě do Gausovy roviny dostaly bychom kružnici o poloměru |z|.

Absolutní hodnota rozdílu dvou komplexních čísel je vyjádření vzdálenosti těchto komplexních čísel v Gausově rovině.

Reciproké (převrácené) komplexní číslo

Některá komplexní čísla se nazývají navzájem reciproká (převrácená). Znamená to, že jejich absolutní hodnoty jsou navzájem převrácená čísla a zároveň jejich argumenty se liší pouze znaménkem.

Řešené příklady

Seznam řešených příkladů:
001 – Řešený příklad číslo 001
002 – Řešený příklad číslo 002
003 – Řešený příklad číslo 003
004 – Řešený příklad číslo 004
005 – Řešený příklad číslo 005
006 – Řešený příklad číslo 006
007 – Řešený příklad číslo 007
008 – Řešený příklad číslo 008
009 – Řešený příklad číslo 009
010 – Řešený příklad číslo 010
011 – Řešený příklad číslo 011
012 – Řešený příklad číslo 012
013 – Řešený příklad číslo 013
014 – Řešený příklad číslo 014
015 – Řešený příklad číslo 015
016 – Řešený příklad číslo 016
017 – Řešený příklad číslo 017
018 – Řešený příklad číslo 018
019 – Řešený příklad číslo 019