Komplexní čísla

Matematika online (hlavní strana) – Základy matematiky – Komplexní čísla – algebraický, geometrický a exponenciální tvar. Moivreova věta. Eulerův vzorec. Geometrické znázornění komplexních čísel.

Obsah článku

Komplexní čísla - Operace s komplexními čísly - Matematika online - www.Math.Kvalitne.cz Komplexní čísla -
Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz – Komplexní čísla

Komplexní čísla – úvod

Asi Vás nejdříve napadne otázka proč zavádíme komplexní čísla když už máme čísla reálná a to od mínus nekonečna do plus nekonečna :-). Odpověď je jednoduchá: pokud jste již někdy řešili kvadratické rovnice, tak jistě víte, že se může stát, že vyjde diskriminant záporné číslo. Jak jistě víte odmocniny záporných čísel neexistují. Takže pokud by jsme tuto kvadratickou rovnici řešili v oboru reálných čísel, odpověď by byla, že řešení v oboru reálných čísel neexistuje. Pokud si však zavedeme čísla komplexní, řešení kvadratické rovnice můžeme najít v oboru komplexních čísel i v případě, že vyjde diskriminant záporný.

Geometrické znázornění komplexních čísel

Množinu reálných čísel R můžeme zobrazit na přímce. Pro zobrazení množiny komplexních čísel potřebujeme rovinu. Tuto rovinu značíme C. Komplexní číslo lze zapsat v třech různých tvarech: algebraický tvar, goniometrický tvar a exponenciální tvar. Komplexní čísla se vyjadřují pomocí imaginární jednotky i. Pro i platí následující vztahy:

Komplexní čísla - Operace s komplexními čísly - Matematika online - www.Math.Kvalitne.cz Komplexní čísla -
Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz Komplexní čísla – Komplexní čísla

i2 = -1

i3 = -1 * i = -i

i4 = -1 * -1 = 1

i5 = i …

Komplexní čísla můžeme zobrazovat v Gaussově rovině. Na ose x zobrazujeme reálnou souřadnici komplexního čísla a na ose y zobrazujeme imaginární čísla.

Algebraický tvar komplexního čísla

       z = a + i*b , kde a je reálná část komplexního čísla, b je imaginární část komplexního čísla a i je imaginární jednotka.

U komplexního čísla můžeme dále vypočítat absolutní hodnotu komplexního čísla: |z| = √(a2+ b2), která vyjadřuje vzdálenost komplexního čísla od počátku a argument komplexního čísla cos(φ) = b/|z| nebo sin(φ) = a/|z|

Goniometrický tvar komplexního čísla

Každé komplexní číslo, které se nerovná nule lze vyjádřit v goniometrickém tvaru. K vyjádření komplexního čísla v goniometrickém tvaru potřebujeme znát absolutní hodnotu komplexního čísla |z| ( také se nazývá někdy modul ) a argument komplexního čísla φ (orientovaný úhel).

Absolutní hodnota komplexního čísla je vzdálenost komplexního čísla od počátku. Absolutní hodnotu čísla z1 = a1 + i*b1 vypočítáme

|z1| = √( a12 +b12).

Argument komplexního čísla vypočítáme z jednoho ze vztahů: sin(φ) = a / |z| nebo cos(φ) = b / |z|.

Pokud již známe absolutní hodnotu komplexního čísla a argument komplexního čísla můžeme ho napsat v goniometrickém tvaru: z = |z|*cos(φ) +i*|z|*sin(φ) = |z|*(cos(φ) +i*sin(φ)).

Hlavní výhodou goniometrického tvaru je jednoduché násobení a dělení komplexních čísel v tomto tvaru. Pokud násobíme čísla: z1 = |z1|*(cos(φ1) + i*sin(φ1)) a z2 = |z2|*(cos(φ2) + i*sin(φ2)) platí vztah: z1*z2 = |z1|*|z2|*(cos(φ1 + φ2) + i*sin(φ1 + φ2)). Pro dělení komplexních čísel pak: z1/z2 = |z1|*|z2|*(cos(φ1 – φ2) + i*sin(φ1 – φ2))

Pro převod zpět na algebraický tvar komplexního čísla použijeme následující vzorce:  a = |z|*cos(φ)  a  b = |z|*sin(φ).

Moivreova věta

Pro všechna přirozená čísla n platí: (cos(φ) + i*sin(φ))n = (cos(n*φ) + i*sin(n*φ)), takže pro komplexní číslo zn můžeme napsat: zn = |z|n*(cos(n*φ) + i*sin(n*φ)).

Exponenciální tvar komplexního čísla

Pro zápis komplexního čísla v exponenciálním tvaru potřebujeme stejně jako u goniometrického tvaru znát absolutní hodnotu a argument komplexního čísla. Pokud tedy známe absolutní hodnotu a argument komplexního čísla můžeme toto komplexní číslo napsat v exponenciálním tvaru: z = |z|*ei*φ

Eulerův vzorec

Eulerův vzorec určuje vztah mezi exponenciálním tvarem komplexního čísla a goniometrickým tvarem komplexního čísla. Eulerův vzorec:

ei*φ = (cos(φ) + i*sin(φ))

Angličtina online a zdarma:

Nejlepší Anglina.uNas.cz – potřebujete se rychle naučit anglicky? Tyto stránky Vám s tím jistě pomohou. Veškerá anglická gramatika od začátečníků až po pokročilé. Možnost ověřit si znalosti v našich testech rychle a zdarma. Nebo si jen tak procvičovat před písemkou…