Rovnice s absolutní hodnotou

Matematika online – Rovnice a nerovniceRovnice s absolutní hodnotou – absolutní hodnota, odstranění absolutní hodnoty, výpočet nulových bodů, grafické řešení rovnic a nerovnic.

Obsah článku

Absolutní hodnota

O absolutní hodnotě máme samostatný článek absolutní hodnota, takže jen ve zkratce: značka pro zápis absolutní hodnoty jsou dvě svislé čáry |x|. Absolutní hodnota vyjadřuje vzdálenost čísla od počátku na číselné ose. Vzdálenost je vždy kladná, takže výsledek toho, co je uvnitř absolutní hodnoty, musí být vždy kladné číslo. Jednoduché příklady:

Rovnice s absolutní hodnotou - Matematika online - www.Math.Kvalitne.cz - a Nerovnice s absolutní hodnotou
Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz – Rovnice s absolutní hodnotou a Nerovnice s absolutní hodnotou

|5| = 5

|-5| = 5

|19| = 19

|-19| = 19

Tedy výsledek v případě, že je uvnitř svislých čar kladné číslo, je kladný a pro případy, kdy je uvnitř svislých čar záporné číslo, je výsledek, také kladný.

Speciální případ je absolutní hodnota čísla 0, ale řešení je naprosto jednoduché. Vzdálenost 0 od 0 na číselné ose je 0, takže výsledek bude 0.

Absolutní hodnota s neznámou

V tomto odstavci budeme řešit, jak se vyřeší problematika neznámé uvnitř svislých čar označujících absolutní hodnotu. V tomto případě se hledají dvě řešení, protože od 0 jsou

vždy dva body stejně vzdálené (jeden v oblasti záporných hodnot a druhý v oblasti kladných hodnot). Speciálním případem je 0, která jako jediná ze vzdáleností nemá dvě řešení

Pro názornost se podívejte na jednoduché příklady:

|x| = 3 … řešením této rovnice jsou x = -3; 3, které mají vzdálenost na číselné ose od nuly 3

|x| = 19 … řešením této rovnice jsou x = -19; 19, které mají vzdálenost na číselné ose od nuly 19

|x| = 0 … řešením této rovnice je x = 0, které jako jediné má vzdálenost na číselné ose od nuly rovnu 0

Nejjednodušší příklad rovnice s absolutní hodnotou

Nyní si příklad trochu ztížíme. Ale princip zůstává stejný a postup hodně podobný.

Řešený a komentovaný příklad:

|x + 2| = 3 … hledáme čísla pro, která se bude výraz v absolutní hodnotě rovnat 3 – jsou to 3 a -3. Pro větší přehlednost si tedy napíšeme dvě rovnice a zároveň se zbavíme svislých čar značících absolutní hodnotu:

x + 2 = 3 … výsledkem rovnice je x = 1

x + 2 = -3 … výsledkem rovnice je x = -5

Máme tedy dvě řešení rovnice s absolutní hodnotou: |x + 2| = 3, kde x1,2 = 1; -5.

Řešení složitější rovnice s absolutní hodnotou

V dalším případě si příklad zadáme ještě složitější:

Řešený a komentovaný příklad:

Zadání:

|2x + 2|+|x – 1| = 3 … pro řešení složitějších úloh si nejprve vypočítáme nulové body. Než je začneme počítat, tak si nejprve vysvětlíme, co jsou to nulové body.

Nulové body:

Nulový bod je číslo, které reprezentuje x v případě, že se výraz uvnitř absolutní hodnoty rovná nule. Výpočet je jednoduchý, napíšeme dvě rovnice, kde bude na jedné straně výraz z absolutní hodnoty a na druhé 0:

2x + 2 = 0 … výsledkem rovnice je x = -1

x – 1 = 0 … výsledkem rovnice je x = 1

Intervaly:

Máme tedy dva nulové body -1 a 1, pomocí kterých rozdělíme interval všech reálných čísel (-∞; ∞) na tři intervaly (-∞; -1> <-1; 1> <1; ∞). Nyní se vracíme k původní rovnici a budeme ji řešit třikrát pro uvedené intervaly. S tím, že si ještě před řešením zjistíme, jaké budou mít absolutní hodnoty znaménka v daném intervalu. Znaménko zjistíme tak, že z intervalu dosadíme jakékoliv číslo a pokud nám vyjde záporný výsledek, tak bude znaménko záporné. Pokud bude výsledek kladný, tak bude znaménko kladné:

Řešení rovnice pro Intervaly:

I. : (-∞; -1> … dosadíme -2 a dostaneme pro 2x + 2 záporný výsledek a pro x – 1, také záporný výsledek

II. : <-1; 1> … dosadíme 0 a dostaneme pro 2x + 2 kladný výsledek a pro x – 1 záporný výsledek

III. : <1; ∞)… dosadíme 3 a dostaneme pro 2x + 2 kladný výsledek a pro x – 1, také kladný výsledek

Nyní si můžeme rovnici pro každý interval přepsat do tvaru lineární rovnice, kterou už jistě umíte řešit.

I. : (-∞; -1>|2.x + 2|+|x – 1| = 3 … přepíšeme na: -(2.x + 2) – (x – 1) = 3

II. : <-1; 1>|2.x + 2|+|x – 1| = 3 … přepíšeme na: +(2.x + 2) – (x – 1) = 3

III. : <1; ∞)|2.x + 2|+|x – 1| = 3 … přepíšeme na: +(2.x + 2) + (x – 1) = 3

Výsledky řešení lineárních rovnic:

I. : (-∞; -1>-(2.x + 2) – (x – 1) = 3 … výsledkem je x1= -4/3

II. : <-1; 1> +(2.x + 2) – (x – 1) = 3 … výsledkem je x2= 0

III. : <1; ∞)+(2.x + 2) + (x – 1) = 3 … výsledkem je x3= 2/3

Máme tedy tři řešení x1,2,3 naší rovnice s absolutní hodnotou: |2x + 2|+|x – 1| = 3, ale řešení xnení platné, protože výsledek není výsledkem z intervalu <1; ∞).

Výsledek:

Řešení jsou tedy pouze dvě x1= -4/3 a x2= 0

Grafické řešení rovnice s absolutní hodnotou

Pro vysvětlení bude nejlepší, když si vezmeme stejný příklad jako při početním řešení pomocí nulových bodů. Máme tedy řešit rovnici: |2x + 2|+|x – 1| = 3. Pokud si do stejného grafu zakreslíte dvě funkce:

f1: y = |2.x + 2|+|x – 1|

f2: y = 3

Rovnice s absolutní hodnotou - Matematika online www.Math.Kvalitne.cz Rovnice a nerovnice -
Matematika online na www.Math.Kvalitne.cz – Rovnice a nerovnice – Rovnice s absolutní hodnotou

tak se Vám protnou právě v bodech, které na ose x odpovídají početnímu řešení.

Rovnice s absolutní hodnotou – jak je řešit v pár větách

Nejdříve musíme určit nulové body všech výrazů v absolutních hodnotách. Ty nám množinu R rozdělí na intervaly, ve kterých určíme znaménka jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a znaky absolutní hodnoty odstraníme podle definice absolutní hodnoty. Pak řešíme úlohu v jednotlivých intervalech. Nakonec musíme porovnat zda výsledek patří nebo nepatří do daného intervalu – v případě, že patří, tak máme jedno z řešení rovnice s absolutní hodnotou.

Řešené příklady na absolutní hodnotu

Seznam řešených příkladů:
001 – Řešený příklad číslo 001
002 – Řešený příklad číslo 002
003 – Řešený příklad číslo 003
004 – Řešený příklad číslo 004
005 – Řešený příklad číslo 005
006 – Řešený příklad číslo 006
007 – Řešený příklad číslo 007
008 – Řešený příklad číslo 008
009 – Řešený příklad číslo 009
010 – Řešený příklad číslo 010
011 – Řešený příklad číslo 011
012 – Řešený příklad číslo 012
013 – Řešený příklad číslo 013
014 – Řešený příklad číslo 014
015 – Řešený příklad číslo 015
016 – Řešený příklad číslo 016
017 – Řešený příklad číslo 017
018 – Řešený příklad číslo 018
019 – Řešený příklad číslo 019
020 – Řešený příklad číslo 020

 

Řešený příklad číslo 001

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 002

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 003

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 004

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 005

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 006

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 007

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 008

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 009

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 010

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 011

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 012

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 013

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 014

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 015

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 016

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 017

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 018

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 019

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 020

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

Angličtina online a zdarma:

Nejlepší Anglina.uNas.cz – potřebujete vyřešit domácí úkol? Nebo si jen procvičit angličtinu před písemkou? Slovíčka rozdělená podle témat, gramatika (anglické časy a tvary sloves, přídavná jména, podstatná jména, zájmena … ), testy na procvičení … téměř u každé gramatiky máme testy na procvičení. Výsledky testů budete mít ihned po dokončení testu bez registrace!