Nerovnice s absolutní hodnotou

Matematika online – Rovnice a nerovnice – Nerovnice s absolutní hodnotou – absolutní hodnota, odstranění absolutní hodnoty, výpočet nulových bodů, grafické řešení nerovnice s absolutní hodnotou.

Obsah článku

Návaznost na rovnice s absolutní hodnotou

V jiném článku o řešení rovnic s absolutní hodnotou je podrobný návod jak tyto rovnice řešit. V článku Nerovnice s absolutní hodnotou již předpokládáme, že máte znalosti o řešení rovnic s absolutní hodnotou.

Nerovnice s absolutní hodnotou – postup řešení

Postup řešení je velmi podobný jako u rovnic, takže si vlastně zopakujete to, co již umíte a přidáte si k tomu rozdíly a několik doplňujících informací.

Řešený a komentovaný příklad:

|2x + 2|+|x – 1| < 3 … pro řešení složitějších úloh si nejprve vypočítáme nulové body.

Nulové body:

Nerovnice s absolutní hodnotou - Matematika online www.Math.Kvalitne.cz - Nerovnice s absolutní hodnotou
Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz – Nerovnice s absolutní hodnotou

Nulové body se vypočítají úplně stejně jako u rovnic:

2x + 2 = 0 … výsledkem rovnice je x = -1

x – 1 = 0 … výsledkem rovnice je x = 1

Intervaly:

Máme tedy dva nulové body -1 a 1, pomocí kterých rozdělíme interval všech reálných čísel (-∞; ∞) na tři intervaly (-∞; -1> <-1; 1> <1; ∞). Nyní se vracíme k původní nerovnici a budeme ji řešit třikrát pro uvedené intervaly. S tím, že si ještě před řešením zjistíme, jaké budou mít absolutní hodnoty znaménka v daném intervalu. Znaménko zjistíme tak, že z intervalu dosadíme jakékoliv číslo a pokud nám vyjde záporný výsledek, tak bude znaménko záporné. Opět i zde je postup stejný jako u rovnic. Takže pokud bude výsledek kladný, tak bude znaménko kladné:

Řešení rovnice pro Intervaly:

I. : (-∞; -1> … dosadíme -2 a dostaneme pro 2x + 2 záporný výsledek a pro x – 1, také záporný výsledek

II. : <-1; 1> … dosadíme 0 a dostaneme pro 2x + 2 kladný výsledek a pro x – 1 záporný výsledek

III. : <1; ∞)… dosadíme 3 a dostaneme pro 2x + 2 kladný výsledek a pro x – 1, také kladný výsledek

Nyní si můžeme nerovnici pro každý interval přepsat do tvaru lineární nerovnice, kterou už umíte řešit.

I. : (-∞; -1>|2x + 2|+|x – 1| < 3 … přepíšeme na: -(2.x + 2) – (x – 1) < 3

II. : <-1; 1>|2x + 2|+|x – 1| < 3 … přepíšeme na: +(2.x + 2) – (x – 1) < 3

III. : <1; ∞)|2x + 2|+|x – 1| < 3 … přepíšeme na: +(2.x + 2) + (x – 1) < 3

Výsledky řešení lineárních nerovnic:

I. : (-∞; -1>-(2.x + 2) – (x – 1) < 3 … výsledkem je x1 > -4/3

II. : <-1; 1>+(2.x + 2) – (x – 1) < 3 … výsledkem je x2 < 0

III. : <1; ∞)+(2.x + 2) + (x – 1) < 3 … výsledkem je x3 < 2/3

Máme tedy tři řešení x1,2,3 naší nerovnice s absolutní hodnotou: |2x + 2|+|x – 1| < 3, ale řešení x3 není platné, protože výsledek není výsledkem z intervalu <1; ∞).

Řešení jsou tedy pouze dvě x1 > -4/3 a x2 < 0, které ale ještě nejsou řešení konečná.

Konečné řešení je průnik intervalů x1 > -4/3 a x2 < 0, což je interval: <-4/3; 0>. Toto je tedy hlavní rozdíl mezi řešením rovnic a nerovnic.

Výsledek:

Výsledkem řešení našeho příkladu je tedy interval <-4/3; 0>.

Angličtina online a zdarma:

Nejlepší Anglina.uNas.cz – potřebujete vyřešit domácí úkol? Nebo si jen procvičit angličtinu před písemkou? Slovíčka rozdělená podle témat, gramatika (anglické časy a tvary sloves, přídavná jména, podstatná jména, zájmena … ), testy na procvičení … téměř u každé gramatiky máme testy na procvičení. Výsledky testů budete mít ihned po dokončení testu bez registrace!