Matice

Matematika online – Lineární algebra – Matice – definice, rovnost matic, sčítání, odčítání, násobení. Matice komplexně sdružená, transponovaná, skalární, jednotková a inverzní.

Obsah článku

- Definice
- Skalární a jednotková
- Rovnost matic
- Sčítání a odčítání matic
- Násobení matic
- Komplexně sdružená
- Transponovaná
- Skalární násobení číslem
- Hodnost matice
- Inverzní
- Řešené příklady

Maticí rozumíme schéma či pole reálných nebo komplexních čísel, uspořádaných do m řádků a n sloupů. Příklad matice je zde:

( a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ . a_1n ) ( a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ . a_2n )

A= ( a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄ . a_3n ) ( a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ . a_4n )

( . . . . . . ) ( a_m1 a_m1 a_m1 a_m1 . a_mn )

Jestliže se m = n pak se jedná o speciální typ matice. Říkáme jí čtvercová matice. Čísla a₂₁, a₂₂, a₃₃, a₄₄ … a_nn se nazývají hlavní diagonála matice.

Skalární a jednotková matice

Jestliže se má diagonální matice A = (a_ij) všechny prvky hlavní diagonály stejné pak se nazývá skalární matice.

( 2 0 0 ) A= ( 0 2 0 ) ( 0 0 2 )

Speciálním případem skalární je pak skalární matice, která má všechny prvky hlavní diagonály a_ij = 1 . Jednotková matice se značí I.

( 1 0 0 ) I= ( 0 1 0 ) ( 0 0 1 )

Rovnost matic

Matice A,B o rozměrech m x n jsou si rovny, jestliže jsou si rovny jejich prvky o shodných souřadnicích a_ij = b_ij příklad:

( 2 3 1 ) ( 2 3 1 ) A= ( 8 8 0 ) B= ( 8 8 0 ) ( 5 0 4 ) ( 5 0 4 )

Sčítání a odčítání matic

Pokud máme matice A,B o rozměrech m x n jejich součet (rozdíl) je matice C, kterou vypočítáme podle vzorce: c_ij =a_ij ± b_ij.

Jestliže tedy máme matice A,B:

( 2 5 1 ) ( 1 3 2 ) A= ( 2 1 0 ) B= ( 6 6 7 ) ( 3 1 4 ) ( 5 0 4 )

výsledná matice C je:

( 2+1 5+3 1+2 ) ( 3 8 3 ) C= ( 2+6 1+6 0+7 ) = ( 8 7 7 ) ( 3+5 1+0 4+4 ) ( 8 1 8 )

Násobení matic

Jestliže je matice A o rozměrech m x p a matice B o rozměrech p x n součinem matic A a B vznikne matice C o rozměrech m x n

( 1 2 -1 ) ( -2 5 ) A = ( 3 1 4 ) B = ( 4 -3 ) ( 2 1 )

výsledná matice C je:

C = A.B = ( 1*(-2) + 2*4 + (-1)*2 1*5 + 2*(-3) + (-1)*1 ) ( 3*(-2) + 1*4 + 4*2 3*5 + 1*(-3) + 4*1 ) = ( 4 -2 ) ( 6 16 )

Pro násobení matic je narozdíl od sčítání a odčítání důležité pořadí matic. V případě záměny matic A,B by nevznikla matice C, protože by matice nesplňovali podmínku pro součin matic. V případě, že by se jednalo o dvě čtvercové matice můžeme provést součin A*B i součin B*A, ale výsledkem by byla pokaždé jiná matice C pokud by se matice A nerovnala matici B.

Komplexně sdružená matice

Z matice A můžeme udělat matici komplexně sdruženou tak, že nahradíme všechny její prvky čísly komplexně sdruženými k číslům v původní matici.

K matici A

( 1-i 2 -1+i ) A= ( 3-i 1+i +i ) ( 2 1 -i )

je komplexně sdružená matice A^*:

( 1+i 2 -1-i ) A^*= ( 3+i 1-i -i ) ( 2 1 +i )

Transponovaná matice

Z matice A můžeme udělat matici transponovanou pomocí vzorce A^T_(ij) = A_(ji) . Jestliže máme tedy matici:

( 1 2 1 ) A = ( 3 5 4 ) ( 2 1 6 )

pak matice transponovaná A^T:

( 1 3 2 ) A^T= ( 2 5 1 ) ( 1 4 6 )

Skalární násobení matice číslem

Skalární násobení matice A číslem r je pouze vynásobení každého prvku matice číslem r. Z následující matice:

( 1 2 1 ) A = ( 3 3 4 ) ( 2 1 3 )

dostaneme po vynásobení číslem r = 2 matici:

( 2 4 2 ) A.r= ( 6 6 8 ) ( 4 2 6 )

Hodnost matice

Řádkovou hodností matice A je takové číslo h_r(A), které udává maximální počet řádků, které jsou lineárně nezávislé.

Sloupcovou hodností matice A je takové číslo h_s(A), které udává maximální počet sloupců, které jsou lineárně nezávislé.

Vzhledem k tomu, že řádková hodnost matice je stejná jako sloupcová hodnost matice můžeme mluvit pouze o hodnosti matice h(A).

Inverzní matice

Dvě čtvercové matice A, B jsou inverzní jestliže platí: A*B = I = B*A .

Řešené příklady

Seznam řešených příkladů:
001 – Řešený příklad číslo 001
002 – Řešený příklad číslo 002
003 – Řešený příklad číslo 003
004 – Řešený příklad číslo 004
005 – Řešený příklad číslo 005
006 – Řešený příklad číslo 006
007 – Řešený příklad číslo 007
008 – Řešený příklad číslo 008
009 – Řešený příklad číslo 009
010 – Řešený příklad číslo 010