Matice

Matematika online – Lineární algebra – Matice – definice, rovnost matic, sčítání, odčítání, násobení. Matice komplexně sdružená, transponovaná, skalární, jednotková a inverzní.

Obsah článku

Matice

Maticí rozumíme schéma či pole reálných nebo komplexních čísel, uspořádaných do m řádků a n sloupů. Příklad matice je zde:

( a11    a12    a13    a14    .    a1n )      ( a21    a22    a23    a24    .    a2n )

A=   ( a31    a32    a33    a34    .    a3n )      ( a41    a42    a43    a44    .    a4n )

( .      .      .     .      .    .  )      ( am1    am1    am1    am1    .    amn )

Jestliže se m = n pak se jedná o speciální typ matice. Říkáme jí čtvercová matice. Čísla a21, a22, a33, a44 … ann se nazývají hlavní diagonála matice.

Skalární a jednotková matice

Jestliže se má diagonální matice A = (aij) všechny prvky hlavní diagonály stejné pak se nazývá skalární matice.

( 2 0 0 ) A=   ( 0 2 0 )      ( 0 0 2 )

Speciálním případem skalární je pak skalární matice, která má všechny prvky hlavní diagonály aij = 1 . Jednotková matice se značí I.

( 1 0 0 ) I=   ( 0 1 0 )      ( 0 0 1 )

Rovnost matic

Matice A,B o rozměrech m x n jsou si rovny, jestliže jsou si rovny jejich prvky o shodných souřadnicích aij = bij příklad:

( 2 3 1 )           ( 2 3 1 ) A=   ( 8 8 0 )      B=   ( 8 8 0 )      ( 5 0 4 )           ( 5 0 4 )

Sčítání a odčítání matic

Pokud máme matice A,B o rozměrech m x n jejich součet (rozdíl) je matice C, kterou vypočítáme podle vzorce: cij =aij ± bij.

Jestliže tedy máme matice A,B:

( 2 5 1 )           ( 1 3 2 ) A=   ( 2 1 0 )      B=   ( 6 6 7 )      ( 3 1 4 )           ( 5 0 4 )

výsledná matice C je:

( 2+1 5+3 1+2 )           ( 3 8 3 ) C=   ( 2+6 1+6 0+7 )      =    ( 8 7 7 )      ( 3+5 1+0 4+4 )           ( 8 1 8 )

Násobení matic

Jestliže je matice A o rozměrech m x p a matice B o rozměrech p x n součinem matic A a B vznikne matice C o rozměrech m x n

( 1 2 -1 )           ( -2  5 ) A =  ( 3 1  4 )      B =  (  4 -3 )                           (  2  1 )

výsledná matice C je:

C = A.B =  ( 1*(-2) + 2*4 + (-1)*2     1*5 + 2*(-3) + (-1)*1 )                  ( 3*(-2) + 1*4 +  4*2       3*5 + 1*(-3) +  4*1   )                     =  ( 4 -2 )            ( 6 16 )

Pro násobení matic je narozdíl od sčítání a odčítání důležité pořadí matic. V případě záměny matic A,B by nevznikla matice C, protože by matice nesplňovali podmínku pro součin matic. V případě, že by se jednalo o dvě čtvercové matice můžeme provést součin A*B i součin B*A, ale výsledkem by byla pokaždé jiná matice C pokud by se matice A nerovnala matici B.

Komplexně sdružená matice

Z matice A můžeme udělat matici komplexně sdruženou tak, že nahradíme všechny její prvky čísly komplexně sdruženými k číslům v původní matici.

K matici A

( 1-i  2   -1+i )         A=   ( 3-i  1+i  +i  )            (  2   1    -i  )

je komplexně sdružená matice A*:

( 1+i  2   -1-i )         A*=  ( 3+i  1-i  -i  )            (  2   1    +i  )

Transponovaná matice

Z matice A můžeme udělat matici transponovanou pomocí vzorce AT(ij) = A(ji) . Jestliže máme tedy matici:

( 1  2  1 )         A =  ( 3  5  4 )            ( 2  1  6 )

pak matice transponovaná AT:

( 1  3  2 )         AT=  ( 2  5  1 )            ( 1  4  6 )

Skalární násobení matice číslem

Skalární násobení matice A číslem r je pouze vynásobení každého prvku matice číslem r. Z následující matice:

( 1  2  1 )         A =  ( 3  3  4 )            ( 2  1  3 )

dostaneme po vynásobení číslem r = 2 matici:

( 2  4  2 )         A.r= ( 6  6  8 )            ( 4  2  6 )

Hodnost matice

Řádkovou hodností matice A je takové číslo hr(A), které udává maximální počet řádků, které jsou lineárně nezávislé.

Sloupcovou hodností matice A je takové číslo hs(A), které udává maximální počet sloupců, které jsou lineárně nezávislé.

Vzhledem k tomu, že řádková hodnost matice je stejná jako sloupcová hodnost matice můžeme mluvit pouze o hodnosti matice h(A).

Inverzní matice

Dvě čtvercové matice A, B jsou inverzní jestliže platí: A*B = I = B*A .

Řešené příklady

Seznam řešených příkladů:
001 – Řešený příklad číslo 001
002 – Řešený příklad číslo 002
003 – Řešený příklad číslo 003
004 – Řešený příklad číslo 004
005 – Řešený příklad číslo 005
006 – Řešený příklad číslo 006
007 – Řešený příklad číslo 007
008 – Řešený příklad číslo 008
009 – Řešený příklad číslo 009
010 – Řešený příklad číslo 010

 

Řešený příklad číslo 001

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 002

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 003

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 004

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 005

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 006

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 007

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 008

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 009

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 010

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

Pokračovat ve studiu na Matematika online:

Angličtina online a zdarma:

Nejlepší Anglina.uNas.cz – potřebujete vyřešit domácí úkol? Nebo si jen procvičit angličtinu před písemkou? Slovíčka rozdělená podle témat, gramatika (anglické časy a tvary sloves, přídavná jména, podstatná jména, zájmena … ), testy na procvičení … téměř u každé gramatiky máme testy na procvičení. Výsledky testů budete mít ihned po dokončení testu bez registrace!