Matematika online – Lineární algebra – Matice – definice, rovnost matic, sčítání, odčítání, násobení. Matice komplexně sdružená, transponovaná, skalární, jednotková a inverzní.
Obsah článku
Matice
Maticí rozumíme schéma či pole reálných nebo komplexních čísel, uspořádaných do m řádků a n sloupů. Příklad matice je zde:
( a11 a12 a13 a14 . a1n ) ( a21 a22 a23 a24 . a2n )
A= ( a31 a32 a33 a34 . a3n ) ( a41 a42 a43 a44 . a4n )
( . . . . . . ) ( am1 am1 am1 am1 . amn )
Jestliže se m = n pak se jedná o speciální typ matice. Říkáme jí čtvercová matice. Čísla a21, a22, a33, a44 … ann se nazývají hlavní diagonála matice.
Skalární a jednotková matice
Jestliže se má diagonální matice A = (aij) všechny prvky hlavní diagonály stejné pak se nazývá skalární matice.
( 2 0 0 ) A= ( 0 2 0 ) ( 0 0 2 )
Speciálním případem skalární je pak skalární matice, která má všechny prvky hlavní diagonály aij = 1 . Jednotková matice se značí I.
( 1 0 0 ) I= ( 0 1 0 ) ( 0 0 1 )
Rovnost matic
Matice A,B o rozměrech m x n jsou si rovny, jestliže jsou si rovny jejich prvky o shodných souřadnicích aij = bij příklad:
( 2 3 1 ) ( 2 3 1 ) A= ( 8 8 0 ) B= ( 8 8 0 ) ( 5 0 4 ) ( 5 0 4 )
Sčítání a odčítání matic
Pokud máme matice A,B o rozměrech m x n jejich součet (rozdíl) je matice C, kterou vypočítáme podle vzorce: cij =aij ± bij.
Jestliže tedy máme matice A,B:
( 2 5 1 ) ( 1 3 2 ) A= ( 2 1 0 ) B= ( 6 6 7 ) ( 3 1 4 ) ( 5 0 4 )
výsledná matice C je:
( 2+1 5+3 1+2 ) ( 3 8 3 ) C= ( 2+6 1+6 0+7 ) = ( 8 7 7 ) ( 3+5 1+0 4+4 ) ( 8 1 8 )
Násobení matic
Jestliže je matice A o rozměrech m x p a matice B o rozměrech p x n součinem matic A a B vznikne matice C o rozměrech m x n
( 1 2 -1 ) ( -2 5 ) A = ( 3 1 4 ) B = ( 4 -3 ) ( 2 1 )
výsledná matice C je:
C = A.B = ( 1*(-2) + 2*4 + (-1)*2 1*5 + 2*(-3) + (-1)*1 ) ( 3*(-2) + 1*4 + 4*2 3*5 + 1*(-3) + 4*1 ) = ( 4 -2 ) ( 6 16 )
Pro násobení matic je narozdíl od sčítání a odčítání důležité pořadí matic. V případě záměny matic A,B by nevznikla matice C, protože by matice nesplňovali podmínku pro součin matic. V případě, že by se jednalo o dvě čtvercové matice můžeme provést součin A*B i součin B*A, ale výsledkem by byla pokaždé jiná matice C pokud by se matice A nerovnala matici B.
Komplexně sdružená matice
Z matice A můžeme udělat matici komplexně sdruženou tak, že nahradíme všechny její prvky čísly komplexně sdruženými k číslům v původní matici.
K matici A
( 1-i 2 -1+i ) A= ( 3-i 1+i +i ) ( 2 1 -i )
je komplexně sdružená matice A*:
( 1+i 2 -1-i ) A*= ( 3+i 1-i -i ) ( 2 1 +i )
Transponovaná matice
Z matice A můžeme udělat matici transponovanou pomocí vzorce AT(ij) = A(ji) . Jestliže máme tedy matici:
( 1 2 1 ) A = ( 3 5 4 ) ( 2 1 6 )
pak matice transponovaná AT:
( 1 3 2 ) AT= ( 2 5 1 ) ( 1 4 6 )
Skalární násobení matice číslem
Skalární násobení matice A číslem r je pouze vynásobení každého prvku matice číslem r. Z následující matice:
( 1 2 1 ) A = ( 3 3 4 ) ( 2 1 3 )
dostaneme po vynásobení číslem r = 2 matici:
( 2 4 2 ) A.r= ( 6 6 8 ) ( 4 2 6 )
Hodnost matice
Řádkovou hodností matice A je takové číslo hr(A), které udává maximální počet řádků, které jsou lineárně nezávislé.
Sloupcovou hodností matice A je takové číslo hs(A), které udává maximální počet sloupců, které jsou lineárně nezávislé.
Vzhledem k tomu, že řádková hodnost matice je stejná jako sloupcová hodnost matice můžeme mluvit pouze o hodnosti matice h(A).
Inverzní matice
Dvě čtvercové matice A, B jsou inverzní jestliže platí: A*B = I = B*A .
Řešené příklady
Seznam řešených příkladů:
001 – Řešený příklad číslo 001
002 – Řešený příklad číslo 002
003 – Řešený příklad číslo 003
004 – Řešený příklad číslo 004
005 – Řešený příklad číslo 005
006 – Řešený příklad číslo 006
007 – Řešený příklad číslo 007
008 – Řešený příklad číslo 008
009 – Řešený příklad číslo 009
010 – Řešený příklad číslo 010
Řešený příklad číslo 001
Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz
Řešený příklad číslo 002
Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz
Řešený příklad číslo 003
Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz
Řešený příklad číslo 004
Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz
Řešený příklad číslo 005
Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz
Řešený příklad číslo 006
Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz
Řešený příklad číslo 007
Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz
Řešený příklad číslo 008
Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz
Řešený příklad číslo 009
Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz
Řešený příklad číslo 010
Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz
Pokračovat ve studiu na Matematika online:
Angličtina online a zdarma:
Nejlepší Anglina.uNas.cz – potřebujete vyřešit domácí úkol? Nebo si jen procvičit angličtinu před písemkou? Slovíčka rozdělená podle témat, gramatika (anglické časy a tvary sloves, přídavná jména, podstatná jména, zájmena … ), testy na procvičení … téměř u každé gramatiky máme testy na procvičení. Výsledky testů budete mít ihned po dokončení testu bez registrace!