Determinanty

Matematika online – Lineární algebra – Determinanty – pojem determinanty, determinanty prvního řádu, determinanty druhého řádu, determinanty třetího řádu, determinanty n-tého řádu. Řešení soustav lineárních rovnic. Sarusovo pravidlo. Laplaceova věta.

Obsah článku

Pojem determinanty

Jestliže máme danou čtvercovou matici čísel, kde m = n:

 

A = 

   

( a11    a12    a13    a14    .    a1n )

( a21    a22    a23    a24    .    a2n )

( a31    a32    a33    a34    .    a3n )

( a41    a42    a43    a44    .    a4n )

(     .         .         .      .      .     .     )

( an1    an1    an1    an1    .    ann )

Pokud p(1), p(2), · · · , p(n) je libovolná permutace čísel 1, 2, …, n (permutací je n!). Utvořme součin a1p(1) · a2p(2) · a3p(3) · · · anp(n) a vynásobme jej číslem (−1) v případě, že permutace je lichá; jinak ponechejme součin beze změny. Provedeme-li to pro všechny permutace, dostaneme n! součinu. Jejich součet se pak nazývá determinant n-tého řádu matice A a označuje se |A| nebo detA. Píšeme:

|A| =   

 

| a11    a12    a13    a14    .    a1n   |

| a21    a22    a23    a24    .    a2n    |

| a31    a32    a33    a34    .    a3n    |

| a41    a42    a43    a44    .    a4n   |

| .          .         .         .       .       .   |

| an1    an1    an1    an1    .    ann |

Výpočet determinantu prvního, druhého a třetího řádu

Determinant prvního řádu:

|A| = | a11 | = a11

Determinant druhého řádu:

|A| =

 

| a11    a12  |

| a21    a22  |

 

= a11*a22 – a21*a12

Determinant třetího řádu:

|A| =

 

| a11    a12    a13  |

| a21    a22    a23  |

| a31    a32    a33  |

 

=   a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32  – a31*a22*a13 – a32*a23*a11 – a33*a21*a12

vzorec pro výpočet determinantů třetího řádu se nazývá Sarrusovo pravidlo.

Laplaceova věta

Laplaceova věta se používá pro výpočet determinantů čtvrtého a vyššího řádu: Jestliže je |A| determinant n-tého řádu. Pak platí:

a = detA = ∑n aij*Dij = ai1*Di1 + ai2*Di2 … ain*Din

Jde o součin prvků s jejich doplňky. Rozvinutí podle některého z řádků.

Řešení soustav lineárních rovnic pomocí determinantů

Pokud máme soustavu lineárních rovnic:

a11*x1    a12*x2    a13*x3   = b1

a21*x1    a22*x2    a23*x3   = b2

a31*x1    a32*x2    a33*x3   = b3

tak z ní nejprve musíme udělat determinant:

|D| =   

 

| a11    a12    a13  |

| a21    a22    a23  |

| a31    a32    a33  |

    • Je-li D≠0, pak tato soustava má jediné řešení a to xi = Di/D , kde Di je determinant, který vznikne z determinantu D nahrazením i-tého sloupce číslicí b1, b2
    • Je-li D=0, pak má soustava nekonečno řešení nebo žádné.

Řešené příklady na deteminanty

Seznam řešených příkladů:
001 – Řešený příklad číslo 001
002 – Řešený příklad číslo 002
003 – Řešený příklad číslo 003
004 – Řešený příklad číslo 004
005 – Řešený příklad číslo 005

 

Řešený příklad číslo 001

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 002

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 003

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 004

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 005

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

Matematika online – odkazy, které se Vám mohou hodit