Určitý integrál

Matematika onlineIntegrální počet – Určitý integrál – Leibniz-Newtonova formule, vlastnosti určitého integrálu, obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, obsah rotační plochy, řešené příklady.

Obsah článku

Určitý integrál - Matematika online Math_Kvalitne_cz_ Integrální počet
Určitý integrál

Leibniz-Newtonova formule

Určitý integrál je definován pomocí Leibniz-Newtonovy formule. Je-li funkce spojitá na intervalu ab, kde a je dolní mez a b je horní mez.

∫(f‘(x))ab =[f(x)]ab = f(b)-f(a)

Určitý integrál tedy vypočteme tak, že do vypočteného neurčitého integrálu psaného bez integračního konstanty. Dosadíme za x horní mez a pak dolní mez a obě hodnoty od sebe odečteme. Výsledkem pak není funkce, ale číslo. Toto číslo představuje obsah křivočarého lichoběžníku, který je ohraničen osou x v intervalu (a,b) a funkčními hodnotami f(a) a f(b) a grafem funkce y = f(x).

Vlastnosti určitého integrálu

    • Určitý integrál jehož meze jsou si rovny je roven nule.
    • Výměnou integračních mezí změní určitý integrál známého.
    • Integrační interval lze rozdělit na dvě nebo více částí pokud a < c < b, pak ab = a c + ∫cb.

    Obsah rovinného obrazce

    Pomocí určitého integrálu lze vypočítat obsah plochy mezi křivkou funkce f(x) a osou x na intervalu (a,b). V případě, že je výsledek záporný znamená to, že je funkce z větší části pod osou x.

    S = ∫abf(x) dx

    Můžeme také vypočítat obsah plochy mezi dvěma křivkami f(x) a g(x). Znovu si pro výpočet zadáme pouze interval (a,b)

    S = ∫ab(f(x) – g(x)) dx

    Objem rotačního tělesa

    Pokud necháme rotovat křivku funkce kolem jedné z os x,y vznikne mám těleso. Vzorec pro objem rotačního tělesa si můžeme lehko odvodit z předchozího odstavce, kde jsme si ukázaly jak lze pomocí určitého integrálu vypočítat obsah plochy pod křivkou funkce. Dále budeme potřebovat vzorec pro objem válce.

    V = π*r2*v , kde r je poloměr válce a v je výška válce.

    Pokud si místo výšky válce dosadíme integrační meze a místo poloměru funkci f(x) nebo f(y), která rotuje kolem jedné z os x,y, můžeme vzorec přepsat na:

    Vx = π*∫ab(f(x))2 dx = π*∫ab(y)2 dx

    Vy = π*∫ab(f(y))2 dy = π*∫ab(x)2 dx

    Funkci f(x) případně f(y) můžeme místo poloměru dosadit, protože pokud je těleso ohraničeno touto funkcí pak funkce určuje poloměr tělesa v každém bodu funkce. π jsme mohly z integrálu vytknout, protože je to konstanta. Pro tuto operaci jsme využili vzorec z úvodní stánky o integrálním počtu.

    Obsah rotační plochy

    V minulém odstavci jsme si ukázaly jak vypočítat objem rotačního tělesa. Pro toto těleso vzniklé rotací funkce f(x) případně f(y) kolem osy x nebo y. Vzorce pro výpočet této plochy:

    Sx = 2*π*∫ab( y * √( 1 + (y‘)2) ) dx

    Sy = 2*π*∫ab( x * √( 1 + (x‘)2) ) dy

    Řešené příklady – Určitý integrál

    Seznam řešených příkladů:
    001 – Řešený příklad číslo 001
    002 – Řešený příklad číslo 002
    003 – Řešený příklad číslo 003
    004 – Řešený příklad číslo 004
    005 – Řešený příklad číslo 005
    006 – Řešený příklad číslo 006
    007 – Řešený příklad číslo 007
    008 – Řešený příklad číslo 008
    009 – Řešený příklad číslo 009
    010 – Řešený příklad číslo 010
    011 – Řešený příklad číslo 011
    012 – Řešený příklad číslo 012

     

    Řešený příklad číslo 001

     

    Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

     

    Řešený příklad číslo 002

     

    Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

     

    Řešený příklad číslo 003

     

    Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

     

    Řešený příklad číslo 004

     

    Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

     

    Řešený příklad číslo 005

     

    Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

     

    Řešený příklad číslo 006

     

    Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

     

    Řešený příklad číslo 007

     

    Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

     

    Řešený příklad číslo 008

     

    Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

     

    Řešený příklad číslo 009

     

    Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

     

    Řešený příklad číslo 010

     

    Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

     

    Řešený příklad číslo 011

     

    Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

     

    Řešený příklad číslo 012

     

    Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

    Pokračovat ve studiu na Matematika online:

    Angličtina online a zdarma:

    Gramatika, slovíčka, testy na procvičení na ověření Vašich znalostí to je Nejlepší Anglina.uNas.cz.