Vektory

Matematika onlineGeometrie Analytická geometrieVektory – definice, jak vektor zapsat, součet vektorů, rozdíl vektorů, velikost vektorů, úhel, součin (skalární a vektorový).

Obsah článku

Vektory - MA_000_02_Matematika online Math_Kvalitne_cz_Analytická geometrie - Vektory.png
Vektory

Úvod do vektorů

Pro pochopení všeho ohledně vektorů se Vám mohou hodit následující znalosti: definice přímky.

Definice vektoru

Vektory - MA_000_02_Matematika online Math_Kvalitne_cz_Analytická geometrie - Vektory.png
Matematika online www.Math.Kvalitne.cz Analytická geometrie – Vektory

Vektor je veličina, která má velikost a směr a v praxi se v naprosté většině případů setkáte s obrázkem šipky. Délka šipky představuje velikost vektoru a šipka určuje směr vektoru.

Definice: Vektorem nazýváme množinu všech souhlasně orientovaných úseček o stejné velikosti.

V učebnicích matematiky se můžete také setkat s pojmem „volný vektor“, ale vzhledem k tomu, že většina vektorů, které pak používají, jsou volné, tak se tím zatím nemá cenu zabývat. Až to bude důležité, tak se k tomu vrátíme.

Operace s vektory

S vektory můžeme provádět spoustu operací, ale k tomu se dostaneme později (například určení rovnoběžnosti vektorů: rovnoběžnost vektorů může být souhlasná nebo nesouhlasná, sčítání vektorů, násobení vektoru číslem a další). Nejprve si ukážeme, jak vektory můžeme zapisovat.

Souřadnice vektoru se zapisují mezi kulaté závorky.

Jak zapsat vektor na přímce?

Přímka |u|=|u| pak jsou souřadnice přímky |u|= |AB| = (x2-x1)

Jak zapsat vektor v rovině?

Rovina – vektor o velikosti |v|=√(v12+v22) má souřadnice přímky |v|=|AB| = ((x2-x1);(y2-y1))

Jak zapsat vektor v prostoru?

Prostor – vektor o velikosti |w|=√(w12+w22+w32) má pak souřadnice přímky |w|=|AB| = ((x2-x1);(y2-y1);(z2-z1))

Součet vektorů 

Součet vektorů c = a + b =  ((a1+b1);(a2+b2);(a2+b3)).

Pří sčítání vektorů není důležité, zda sčítáme c = a + b nebo c = b + a (kumulativní zákon).

Pokud sčítáme více vektorů, tak není důležité pořadí a ani závorky, které používáme, tedy závorky můžete klidně odstranit hned na začátku (asociativní zákon).

Praktický příklad pro sčítání vektorů:

Vypočítejte vektor c, který je dán součtem dvou vektorů: a=(5,8) a b=(4,9).

Výpočet:

Pro výpočet použijeme vzorec uvedený nahoře:

c = a + b =  ((a1+b1),(a2+b2)); = (5+4 , 8+9)= (9, 17)

Opačné vektory jsou nesouhlasně rovnoběžné a mají stejnou velikost.

Rozdíl vektorů

Rozdíl vektorů se vypočítá přičtením opačného vektoru c = a – b =  ((a1-b1);(a2-b2);(a2-b3)).

Pro výpočet rozdílu vektorů je důležité, který od kterého odčítáme, tedy nelze zaměnit a a b. V případě záměny nám vyjde jiný vektor d. Pro názornost se můžete přesvědčit na uvedených příkladech.

Řešené příklady na rozdíl vektorů

Praktický příklad pro rozdíl vektorů:

Vypočítejte vektor c, který je dán rozdílem dvou vektorů: a=(5,8) a b=(4,9).

Výpočet:

Pro výpočet použijeme vzorec uvedený nahoře:

c = a – b =  ((a1-b1),(a2-b2)); = (5-4 , 8-9)= (1, -1)

 

Praktický příklad pro rozdíl vektorů:

Vypočítejte vektor d, který je dán rozdílem dvou vektorů: b=(4,9) a a=(5,8).

Výpočet:

Pro výpočet použijeme vzorec uvedený nahoře:

d = b – a =  ((b1-a1),(b2-a2)) = (4-5 , 9-8)= (-1, 1)

Velikost vektoru

V některých příkladech se Vám bude hodit vypočítat velikost vektoru. Pro výpočet velikosti vektorů používáme následující vzorec pro vektor v rovině: |v|=√(v12+v22) a |w|=√(w12+w22+w32) pro vektor v prostoru.

 

Praktický příklad pro výpočet velikosti vektorů:

Vypočítejte velikost vektoru c, který je dán přímkou o bodech: A=(4,5,7) a B=(5,8,9).

Výpočet:

Pro výpočet použijeme vzorec

|c|=|AB| = ((x2-x1);(y2-y1);(z2-z1)) = ((5-4);(8-5);(9-7)) = (1,3,2)

Následně pro výpočet velikosti vektoru vzorec

|c|=√(c12+c22+c32) =√(12+32+22) =√(1+9+4) =√14 =3,74

Násobení vektoru číslem

Každý vektor |c|=(c1,c2,c3) lze vynásobit číslem k a vznikne nám nový vektor o velikosti: |d|= k.|c|, který bude v případě, že k > 0 souhlasně rovnoběžný  a pro případ, že k < 0 nesouhlasně rovnoběžný. Pro poslední případ k = 0 vznikne nulový vektor.

V případě, že neplatí k = 0, tak vzniká tak zvaný kolineární vektor, který je vždy rovnoběžný s původním vektorem.

Další speciální případ nastává pro k = -1. V tomto případě vznikne vektor o stejné velikosti jen s opačným směrem. Tím vzniká další pojem a to opačný vektor.

Řešené příklady na násobení vektoru číslem

Praktický příklad pro násobení vektoru číslem:

Vypočítejte velikost vektoru c, který je násobkem k = 3 a vektorem b=(4,5,3).

Výpočet:

Pro výpočet použijeme vzorec

|c|=k.|b| = ((k.x1);(k.y1);(k.z1)) = ((3.4);(3.5);(3.3)) = (12,15,9)

 

Praktický příklad pro násobení vektoru číslem:

Vypočítejte velikost vektoru c, který je násobkem k = -1 a vektorem b=(4,5,3).

Výpočet:

Pro výpočet použijeme vzorec

|c|=k.|b| = ((k.x1);(k.y1);(k.z1)) = ((-1.4);(-1.5);(-1.3)) = (-4,-5,-3)

Poznámka: výsledkem pro k = -1 je opačný vektor.

Praktický příklad pro násobení vektoru číslem:

Vypočítejte velikost vektoru c, který je násobkem k = 0 a vektorem b=(4,5,3).

Výpočet:

Pro výpočet použijeme vzorec

|c|=k.|b| = ((k.x1);(k.y1);(k.z1)) = ((0.4);(0.5);(0.3)) = (0,0,0)

Poznámka: výsledkem pro k = 0 je nulový vektor.

Úhel dvou vektorů

Krom základních operací s vektory, jako jsou součet, rozdíl a násobení vektoru číslem, můžeme zjistit úhel, který dva vektory svírají.

V rovině cos(φ) = (a1*b1 + a2*b2) / (|a|*|b|)

V prostoru cos(φ) = (a1*b1 + a2*b2 + a3*b3) / (|a|*|b|)

Výsledný úhel je pak v obou případech v rozsahu 180°.

Vektorový součin vektorů

Jsou-li dány dva nenulové vektory a,b, pak jejich vektorovým součinem je vektor w, který je kolmý, jak na vektor a, tak na vektor b. Velikost vektoru |w| = |a|*|b|*sin (φ). Jde tedy o násobek velikostí vektorů |a| a |b| a sinu úhlu, který svírají. Výsledný vektor je vždy kolmý na oba původní vektory. V případě, že násobíme dva lineárně závislé vektory (jeden z nich je násobkem druhého), což znamená, že jsou rovnoběžné (v matematice se také používá pojem kolineární) a nemůže tedy vzniknout nový vektor, který by byl kolmý na oba původní. Výsledkem bude nulový vektor.

Vektor w, lze vypočítat i pomocí vztahu: w =a x b = (a2.b3 – b2.a3; a3.b1 – b3.a1; a1.b2 – b1.a2).

Jak vidíte, tak vektorový součin je v matematice značen křížkem případně písmenem x.

Řešené příklady na výpočet vektorového součinu

Praktický příklad pro výpočet vektorového součinu dvou vektorů:

Vypočítejte nový vektor c a jeho velikost |c|, který je dán vektorovým součinem vektorů: a=(4,5,3) a b=(1,2,3).

Výpočet:

Pro výpočet vektoru c použijeme vzorec

c =a x b = (a2.b3 – b2.a3; a3.b1 – b3.a1; a1.b2 – b1.a2) = (5.3 – 2.3; 3.1 – 3.4; 4.2 – 1.5) = (15 – 6; 3 – 12; 8 – 5) = (9; -9; 3)

Pro výpočet velikosti vektoru |c| použijeme vzorec:

|c|=√(c12+c22+c32) =√(92+(-9)2+32) =√(81+81+9) =√171 = 13,07

Poznámka: výpočet velikosti vektoru c lze provést i trochu komplikovaněji a to vypočítat velikost vektorů a a b zvlášť a pak ještě jejich úhel a použít vztah: |c| = |a|*|b|*sin (φ).

 

Praktický příklad pro výpočet vektorového součinu dvou vektorů:

Vypočítejte nový vektor c a jeho velikost |c|, který je dán vektorovým součinem vektorů: a=(7,8,9) a b=(2,4,6).

Výpočet:

Pro výpočet vektoru c použijeme vzorec

c =a x b = (a2.b3 – b2.a3; a3.b1 – b3.a1; a1.b2 – b1.a2) = (8.6 – 4.9; 9.2 – 6.7; 7.4 – 2.8) = (48 – 36; 18 – 42; 28 – 16) = (12; -24; 12)

Pro výpočet velikosti vektoru |c| použijeme vzorec:

|c|=√(c12+c22+c32) =√(122+(-24)2+122) =√(144+576+144) =√864 = 29,39

Poznámka: výpočet velikosti vektoru c lze provést i trochu komplikovaněji a to vypočítat velikost vektorů a a b zvlášť a pak ještě jejich úhel a použít vztah: |c| = |a|*|b|*sin (φ).

 

Praktický příklad pro výpočet vektorového součinu dvou vektorů:

Vypočítejte nový vektor c a jeho velikost |c|, který je dán vektorovým součinem vektorů: a=(1,2,3) a b=(2,4,6).

Výpočet:

Pro výpočet vektoru c použijeme vzorec

c =a x b = (a2.b3 – b2.a3; a3.b1 – b3.a1; a1.b2 – b1.a2) = (2.6 – 4.3; 3.2 – 6.1; 1.4 – 2.2) = (12 – 12; 6 – 6; 4 – 4) = (0; 0; 0)

Pro výpočet velikosti vektoru |c| použijeme vzorec:

|c|=√(c12+c22+c32) =√(02+02+02) =√0 = 0

Poznámka: v případě, že je vektor b násobkem vektoru a: b = 2.a, tak výsledný vektor c je nulový a má tedy i nulovou velikost.

Skalární součin dvou vektorů

Co je to vlastně skalární součin? Skalární součin přiřadí dvojici vektorů číslo, kterému následně říkáme skalár. Skalár má vztah k velikosti těchto dvou vektorů a také k úhlu, který tyto vektory svírají.

Jaký je tedy hlavní rozdíl mezi vektorem a skalárem? Zatímco skalár je pouze číslo – které reprezentuje pouze velikost. Tak vektor má krom velikosti také směr. Dalším rozdílem je označení obou součinů. Vektorový součin, jak již bylo uvedeno, je značen křížkem nebo písmenem x. A pro skalární součin se matematice používá tečka nebo někdy na počítači hvězdička *.

Skalární součin dvou vektorů vypočítáme pomocí následujícího vzorce: ||a.b|| =  cos(φ) * (|a|*|b|) = (a1*b1 + a2*b2 + a3*b3).

Speciální případ nastává v případě, že skalární součin dvou vektorů je roven nule, pak jsou tyto dva vektory navzájem kolmé.

 

Praktický příklad pro výpočet skalárního součinu dvou vektorů:

Vypočítejte skalár, který je dán skalárním součinem vektorů: a=(7,8,9) a b=(2,4,6).

Výpočet:

Pro výpočet skaláru použijeme vzorec

||a.b|| = (a1.b1 + a2.b2 + a3.b3) = (7.2 + 8.4 + 9.6) = (14 + 32 + 54) = 100

 

 

Praktický příklad pro výpočet skalárního součinu dvou vektorů:

Vypočítejte skalár, který je dán skalárním součinem vektorů: a=(1,2,3) a b=(2,4,6).

Výpočet:

Pro výpočet skaláru použijeme vzorec

||a.b|| = (a1.b1 + a2.b2 + a3.b3) = (1.2 + 2.4 + 3.6) = (2 + 8 + 18) = 28

 

Smíšený součin vektorů

Jsou-li dány tři nenulové vektory a,b,c, pak jejich smíšeným součinem je vektor w, který vypočítáme dle vzorce: w = a.(b x c). Vznikne tedy nový vektor, který ještě vynásobíme skalárem.

 

Lineární závislost a nezávislost vektorů

Pokud máme dva vektory a,b a existuje-li takové k, že platí a=k*b potom jsou tyto vektory lineárně závislé.

Tři vektory a,b,c jsou lineárně závislé, pokud jeden z nich jde vyjádřit jako lineární kombinace dvou dalších: a = k*b + l*c.

Vektory – Vícerozměrný vektor

Ve všech uvedených příkladech jsou uvedeny pouze případy, že počítáme s vektory v rovině nebo prostoru, ale z matematického pohledu není problém počítat s vícerozměrným vektorem. Jediný problém je, že se nám to špatně kreslí a možná i špatně představuje, ale jinak lze vektory o více rozměrech sčítat a provádět některé další operace jako je tomu uvedeno pro rovinu a prostor.

 

Praktický příklad pro sčítání vektorů o více než 3 rozměrech:

Vypočítejte vektor c, který je dán součtem dvou vektorů: a=(5,8,2,6,9) a b=(4,9,1,2,8).

Výpočet:

Pro výpočet použijeme vzorec uvedený nahoře pro součet dvou vektorů, jen si přidáme další rozměry:

c = a + b =  ((a1+b1),(a2+b2),(a3+b3),(a4+b4 ),(a5+b5)); = (5+4 , 8+9, 2+1, 6+2, 9+8)= (9, 17, 3, 8, 17)

Řešené příklady

Seznam řešených příkladů:
001 – Řešený příklad číslo 001
002 – Řešený příklad číslo 002
003 – Řešený příklad číslo 003
004 – Řešený příklad číslo 004
005 – Řešený příklad číslo 005
006 – Řešený příklad číslo 006
007 – Řešený příklad číslo 007
008 – Řešený příklad číslo 008
009 – Řešený příklad číslo 009
010 – Řešený příklad číslo 010

 

Řešený příklad číslo 001

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 002

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 003

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 004

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 005

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 006

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 007

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 008

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 009

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 010

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

Odkazy, které se mohou hodit