Kružnice

Matematika online – Geometrie – Analytická geometrie – Kružnice – definice, analytické vyjádření, vzájemná poloha s přímkou, obsah, obvod, Thaletova věta, mezikruží …

Obsah článku

Kružnice Matematika online www.Math.Kvalitne.cz Analytická geometrie -
Matematika online www.Math.Kvalitne.cz Analytická geometrie – Kružnice

Definice kružnice

Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu S (střed kružnice) stále stejnou vzdálenost r (poloměr kružnice).

Kružnice je typem kuželosečky, která má výstřednost rovnu nule. Tedy rovina řezu kužele je kolmá k ose kužele.

Třírozměrná analogie kruhu je koule.

Analytické vyjádření kružnice

V základní poloze, kdy má střed souřadnice [0,0] body kružnice mají souřadnice [x,y]. Poloměr se pak vypočítá r = √((x-0)2+(y-0)2).

Rovnice kružnice v počátku  r2 = x2 + y2.

Rovnice kružnice v posunuté poloze se středem S = [m, n] je r2 = (x-m)2 + (y-n)2.

Obecná rovnice kružnice x2 + y2 +ax +by + c = 0 , zde se a = -2*m, b = -2*n, c = m2 + n2.

Vrcholová rovnice kružnice – popisuje kružnici o poloměru r se středem v bodě [r,0]: y2 = 2.r.x – x2

Parametrické vyjádření kružnice – popisuje kružnici o poloměru r se středem v bodě [m,n], kde φ je proměnný parametr od 0 do :
x = m + r.cos (φ)
y = n + r.sin (φ)

Vzájemná poloha kružnice a přímky

Pokud počítáme vzájemnou polohu přímky a kružnice řešíme soustavu dvou rovnic kvadratické a lineární. Z lineární rovnice (přímky) vyjádříme jednu neznámou a dosadíme ji do kvadratické rovnice (kružnice). Nakonec vypočítáme z kvadratické rovnice diskriminant a podle diskriminantu rozhodneme zda se jedná o sečnu (přímka která rozdělí kruh na dvě části. Část sečny, která je obkolopená kružnicí se nazývá tětiva – nejdelší možné tětivy jsou průměry), tečnu ( přímka která se kruhu dotýká v jednom bodě) nebo vnější přímka .

  • je-li D > 0 … to znamená, že přímka a kružnice mají dva společné body … přímka je sečna.
  • je-li D = 0 … to znamená, že přímka a kružnice mají jeden společný bod … přímka je tečna.
  • je-li D < 0 … to znamená, že přímka a kružnice nemají společné body … je to vnější přímka.

Tečna ke kružnici

Bod T = [x1,y1] je to bod, kde se dotýkají kružnice a přímka. Bod S = [m, n] je střed kružnice. Rovnice tečny je pak : r2 = (x1-m)*(x-m) + (y1-n)*(y-n).

Kružnice opsaná a vepsaná

Pokud si představíte trojúhelník nakreslíte si ho a nakreslite do nej kružnici, která bude tečnou ke všem třem jeho stranám, potom jste nakreslili kružnici vepsanou. Všiměte si, že celá kružnice je uvnitř trojúhelníku. Další kružnice, které lze definovat pomocí trojúhelníku jsou kružnice opsané. Jedná se o kružnice, které obsahují všechny vrcholy daného trojúhelníka.

Obsah a obvod kružnice

Když se podívate na kterékoliv vyjádření kružnice vždy znáte nebo alepoň můžete vypočítat polomer r. Pomocí poloměru lze pak se znalostí jednoduchých vzorců vypočítat obsah a obvod.
Vzorec pro obsah kružnice S = π.r2
Vzorec pro obvod kružnice o = 2.π.r

Thaletova věta

Je matematická věta pojmenována po Thalétovi, který ji jako první dokázal. Její znění se v různých učebnicích uvadí v několika znení. Podle mého názoru je nejjednoduší tato verze:
„Sestrojme libovolnou kružnici s průměrem. Koncové body jejího průměru označíme A a B a zvolíme libovolný bod C na kružnici. Pak platí, že trojúhelník ABC je pravoúhlý a má pravý úhel u vrcholu C.“

Jednotková kružnice

Jednotková kružnice se používa v matematice pro definici goniometrických funkcí. Jde o teoretickou kružnici o poloměru 1. Pokud ji chcete zobecnit do prostoru pak je to jednotková koule. Při definici goniometrických, které jsou vlastně poměry se využívá toho, že číslo jedna se v poměrech neprojevuje (1*x = x).

Mezikuží

Mezikuží je prostor mezi dvěmi soustřednými (mají stejný střed) kružnicemi.
Obsah mezikuží můžeme jednoduše vypočítat tak, že odečteme od obsahu větší kružnice obsah menší kružnice. S = π.(R2 – r2)
Obvod je součet obou obvodů : o = 2.π.(R + r)

Řešené příklady

Seznam řešených příkladů:
001 – Řešený příklad číslo 001
002 – Řešený příklad číslo 002
003 – Řešený příklad číslo 003
004 – Řešený příklad číslo 004
005 – Řešený příklad číslo 005
006 – Řešený příklad číslo 006
007 – Řešený příklad číslo 007
008 – Řešený příklad číslo 008
009 – Řešený příklad číslo 009
010 – Řešený příklad číslo 010

 

Řešený příklad číslo 001

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 002

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 003

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 004

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 005

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 006

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 007

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 008

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 009

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 010

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

Odkazy, které se mohou hodit