Elipsa

Matematika online – Geometrie – Analytická geometrie – Elipsa – co je to elipsa, jak lze v matematice zapsat a nakreslit. Analytické vyjádření, střed, ohniska, středová rovnice, excentricita.

Obsah článku

Elipsa - Matematika online www.Math.Kvalitne.cz Analytická geometrie -
Matematika online -www.Math.Kvalitne.cz -Analytická geometrie – Elipsa

Elipsa – Definice

Elipsa je množina bodů, které mají od dvou bodů (ohnisek elipsy E, F) stálý součet vzdáleností, který je větší, než vzdálenost těchto dvou bodů a je roven kladné konstantě 2a.

Pokud Vám tato definice nestačí, tak zkuste ještě jednu. Vezmeme si obrázek elipsy včetně dvou ohnisek E, F. Následně nakreslíme trojúhelník o bodech E, F, a P. Přitom P bude libovolný bod elipsy. P tedy reprezentuje všechny body, které na elipse jsou. Následně, když sečteme libovolné vzdálenosti bodů |EP| a |PF|, tak budou pro libovolný bod P vždy stejné.

Analytické vyjádření elipsy

Než přejdeme k analytickému vyjádření elipsy, tak si musíme definovat pojmy hlavní osa a vedlejší osa.

Hlavní osa elipsy

Hlavní osa elipsy vede přes střed a spojuje dva nejvzdálenější body elipsy. Jedná se tedy o nejširší místo. Body, kde hlavní osa protíná elipsu, se značí A a B. Těmto bodům říkáme hlavní vrcholy elipsy.

Vedlejší osa elipsy

Vedlejší osa elipsy vede také přes střed a zároveň spojuje dva body, které mají přes střed nejkratší vzdálenost. Prochází tedy elipsou v tom nejužším místě. Body, kde vedlejší osa protíná elipsu, se značí C a D. Těmto bodům říkáme vedlejší vrcholy elipsy.

Střed elipsy

Bod, kde se protne hlavní osa elipsy a vedlejší osa elipsy se nazývá střed elipsy. Tento bod značíme S. A úsečky mezi bodem S a vrcholy elipsy se nazývají poloosy elipsy.

Hlavní poloosy jsou úsečky mezi body AS a SB. Vzdálenost mezi středem a hlavním vrcholem elipsy značíme a (jedná se o stejná a, které vystupuje v definici elipsy a také je to délka hlavní poloosy).

Vedlejší poloosy jsou úsečky mezi body CS a SD. Vzdálenost mezi středem a vedlejším vrcholem elipsy značíme b (jedná se o délku vedlejší poloosy).

Ohniska

Každá elipsa má dvě ohniska. (Většinou se ohniska značí E a F). V případě, že ohniska leží ve stejném místě, tak se jedná o speciální případ elipsy, což je kružnice.

Excentricita elipsy

Excentricita elipsy je vzdálenost ohnisek E, F od středu S. Excentricitu značíme e.

Pro všechny elipsy platí, že vzdálenost od středu S k ohniskům E, F je vždy menší, než vzdálenost mezi středem S a hlavními vrcholy elipsy A, B. Tedy platí, že vždy e < a.

Středová rovnice elipsy v základní poloze

V základní poloze je rovnice elipsy, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou x: x 2/ a2 + y2 / b2 = 1. Pro případ, že je hlavní osa rovnoběžná s osou yx2 / b2 + y2 / a2 = 1. Tyto vzorce jsou jednoduché, ale platí nám pouze pro základní polohu elipsy – tedy pouze pro případy, že střed elipsy má souřadnice [0,0], což bohužel není moc časté, takže budeme potřebovat další vzorce pro složitější případy.

Středová rovnice elipsy v posunuté poloze

Rovnice elipsy v posunuté poloze, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou x(x-m)2 / a2 + (y-n)2 / b2 = 1 a podobně pro hlavní osu, která je rovnoběžná s osou y(x-m)2 / b2 + (y-n)2 / a2 = 1

Obecná rovnice elipsy

Obecná rovnice elipsyc*x2 + d*y2 – e*x – f*y + g = 0

Vzájemná poloha přímky a elipsy

Pokud počítáme vzájemnou polohu přímky a elipsy řešíme soustavu dvou rovnic kvadratické a lineární. Z lineární vyjádříme jednu neznámou a dosadíme ji do kvadratické. Nakonec vypočítáme z kvadratické rovnice diskriminant.

    • je-li D > 0…přímka s elipsou mají dva společné body … přímka je sečna.
    • je-li D = 0 …přímka s elipsou mají jeden společný bod … přímka je tečna.
    • je-li D < 0…přímka s elipsou nemají společné body … je to vnější přímka.

Tečna k elipse

Rovnice tečny k elipse v základní poloze:

    • jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou xx*x1/ a2 + y*y1 / b2 = 1
    • jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou yx*x1/ b2 + y*y1 / a2 = 1

Rovnice  tečny k elipse v posunuté poloze:

    • hlavní osa je rovnoběžná s osou x(x-m)*(x1-m)/a2+(y-n)*(y1-n)/b2= 1
    • hlavní osa je rovnoběžná s osou y(x-m)*(x1-m)/b2+(y-n)*(y1-n)/a2= 1

Kružnice je vlastně speciální případ elipsy

Kružnice je speciální případ elipsy, kdy jsou oba body, které představují ohniska elipsy na stejném místě.

Jak jednoduše můžete elipsu nakreslit na papír?

Ano možná se Vám to na první pohled nezdá, ale elipsu si můžete docela lehce nakreslit. Budete potřebovat papír, dva připínáčky, provázek a tužku.

Nejprve zapíchnete připínáčky do papíru. Ty budou reprezentovat body A, B. Následně svážete konce provázku tak, že obvod při natažení kolem připínáčků A a B a bodu P (libovolný bod elipsy) bude roven součtu délek stran trojúhelníku A,B,P. Nakonec při nataženém provázku obkreslete tužkou všechny možné body a výsledkem bude obrázek elipsy.

Obsah elipsy

Výpočet obsahu elipsy je jednoduchý. Jak už je zmíněno výše kružnice je vlastně speciální případ elipsy a u tohoto vzorce k tomu dojdeme znovu. Ale nejprve se podíváme na výpočet obsahu elipsy: S = π*a*b. Pokud se vrátíme ke kružnici, tak obsah kružnice vypočítáme S = π*r*r. Asi již vidíte tu podobnost, kružnice je speciální případ, kdy r = a = b.

Odkazy, které se mohou hodit