Analytická geometrie v prostoru

Matematika onlineAnalytická geometrieAnalytická geometrie v prostoru – parametrické vyjádření přímky v prostoru, vzájemná poloha přímek v prostoru, parametrické vyjádření roviny, obecná rovnice roviny, vzájemná poloha přímky a roviny v prostoru, vzájemná poloha dvou rovin v prostoru.

Obsah článku

Analytická geometrie v prostoru - Matematika online www.Math.Kvalitne.cz Analytická geometrie
Matematika online www.Math.Kvalitne.cz – Analytická geometrie v prostoru

Parametrické vyjádření přímky v prostoru

Pro kapitolu Analytická geometrie v prostoru jsou dvě nejdůležitější rovnice a to parametrické vyjádření přímky a parametrické vyjádření roviny. Začneme přímkou:

Pokud přímka prochází body A = [x1, y1, z1] a B = [x2, y2, z2]. Pak je směrový vektor přímky:

u = B-A = (u1, u2, u3).

Parametrické vyjádření je x = A + t*u, kde x je bod na přímce, u je směrový vektor přímky a t je parametr.

Můžeme tedy použít tři parametrické rovnice:

x = x1 + t*u1

y = y1 + t*u2

z = z1 + t*u3

pokud dosadíme všechny proměnné do obou rovnic, parametr t z jedné rovnice se musí rovnat parametru t z druhé rovnice a třetí rovnice.

V prostoru lze přímky vyjádřit pouze parametricky.

Vzájemná poloha přímek v prostoru

Analytická geometrie v prostoru obsahuje celou řadu příkladů. Vzájemná poloha dvou přímek je základním příkladem. Přímky v prostoru mohou být mimoběžné, různoběžné a rovnoběžné (různé a splývající).

Testování rovnoběžnosti zkoušíme zda jsou přímky lineárně závislé. Pak dosadíme bod z jedné rovnice do druhé a zjistíme zda přímky splývají nebo ne.

Přímky jsou různoběžné pokud nejsou lineárně závislé a mají jeden společný bod.

Přímky jsou mimoběžné pokud nemají žádný společný bod a nejsou lineárně závislé.

Parametrické vyjádření roviny

Rovinu můžeme v prostoru jednoznačně určit: přímkou a bodem, který na ní neleží, tři různé body, které neleží v jedné přímce nebo dvě různé přímky (nesmí splývat a nesmí být mimoběžky).

Rovinu tedy vyjadřujeme pomocí rovnice: x = A + t*u + s*v, máme tedy tři rovnice:

x = x1 +t*u1+s*v1

y = y1 +t*u2+s*v2

z = z1 +t*u3+s*v3

Obecná rovnice roviny

Obecná rovnice roviny v prostoru a*x + b*y + c*z + d = 0

Speciální případy obecné rovnice roviny

d = 0 rovina prochází počátkem souřadnic

a = 0 rovina je rovnoběžná s osou x

b = 0 rovina je rovnoběžná s osou y

c = 0 rovina je rovnoběžná s osou z

a = b = 0 rovina je rovnoběžná s osou x a y

a = c = 0 rovina je rovnoběžná s osou x a z

c = b = 0 rovina je rovnoběžná s osou z a y

Vzájemná poloha přímky a roviny v prostoru

Přímka rovinou prochází a vzniká průsečík. Směrový vektor přímky není kolmý na normálový vektor roviny.

Přímka může být také z rovinou rovnoběžná. Jestliže je směrový vektor přímky s rovinou rovnoběžný pak může rovině náležet nebo ležet mimo ni.

Vzájemná poloha dvou rovin v prostoru

    • rovnoběžné roviny mají lineárně závislé směrové nebo normálové vektory.
    • pokud jsou roviny různoběžné pak vzniká průsečnice.
    • dvě roviny v prostoru nemohou být nikdy mimoběžky.

Analytická geometrie v prostoru – co si určitě musíte zapamatovat?

    • umíte napsat parametrické vyjádření přímky a roviny?
    • umíte zjistit vzájemnou polohu dvou přímek v prostoru?
    • umíte zjistit vzájemnou polohu dvou rovin v prostoru?
    • umíte zjistit vzájemnou polohu přímky a roviny v prostoru?

V případě, že si na všechny otázky odpovídáte ano, pak můžete přejít k dalšímu učivu.

Matematika online – odkazy, které se Vám mohou hodit