Matematika online – Analytická geometrie – Analytická geometrie v prostoru – parametrické vyjádření přímky v prostoru, vzájemná poloha přímek v prostoru, parametrické vyjádření roviny, obecná rovnice roviny, vzájemná poloha přímky a roviny v prostoru, vzájemná poloha dvou rovin v prostoru.
Obsah článku

Parametrické vyjádření přímky v prostoru
Pro kapitolu Analytická geometrie v prostoru jsou dvě nejdůležitější rovnice a to parametrické vyjádření přímky a parametrické vyjádření roviny. Začneme přímkou:
Pokud přímka prochází body A = [x1, y1, z1] a B = [x2, y2, z2]. Pak je směrový vektor přímky:
u = B-A = (u1, u2, u3).
Parametrické vyjádření je x = A + t*u, kde x je bod na přímce, u je směrový vektor přímky a t je parametr.
Můžeme tedy použít tři parametrické rovnice:
x = x1 + t*u1
y = y1 + t*u2
z = z1 + t*u3
pokud dosadíme všechny proměnné do obou rovnic, parametr t z jedné rovnice se musí rovnat parametru t z druhé rovnice a třetí rovnice.
V prostoru lze přímky vyjádřit pouze parametricky.
Vzájemná poloha přímek v prostoru
Analytická geometrie v prostoru obsahuje celou řadu příkladů. Vzájemná poloha dvou přímek je základním příkladem. Přímky v prostoru mohou být mimoběžné, různoběžné a rovnoběžné (různé a splývající).
Testování rovnoběžnosti zkoušíme zda jsou přímky lineárně závislé. Pak dosadíme bod z jedné rovnice do druhé a zjistíme zda přímky splývají nebo ne.
Přímky jsou různoběžné pokud nejsou lineárně závislé a mají jeden společný bod.
Přímky jsou mimoběžné pokud nemají žádný společný bod a nejsou lineárně závislé.
Parametrické vyjádření roviny
Rovinu můžeme v prostoru jednoznačně určit: přímkou a bodem, který na ní neleží, tři různé body, které neleží v jedné přímce nebo dvě různé přímky (nesmí splývat a nesmí být mimoběžky).
Rovinu tedy vyjadřujeme pomocí rovnice: x = A + t*u + s*v, máme tedy tři rovnice:
x = x1 +t*u1+s*v1
y = y1 +t*u2+s*v2
z = z1 +t*u3+s*v3
Obecná rovnice roviny
Obecná rovnice roviny v prostoru a*x + b*y + c*z + d = 0
Speciální případy obecné rovnice roviny
d = 0 rovina prochází počátkem souřadnic
a = 0 rovina je rovnoběžná s osou x
b = 0 rovina je rovnoběžná s osou y
c = 0 rovina je rovnoběžná s osou z
a = b = 0 rovina je rovnoběžná s osou x a y
a = c = 0 rovina je rovnoběžná s osou x a z
c = b = 0 rovina je rovnoběžná s osou z a y
Vzájemná poloha přímky a roviny v prostoru
Přímka rovinou prochází a vzniká průsečík. Směrový vektor přímky není kolmý na normálový vektor roviny.
Přímka může být také z rovinou rovnoběžná. Jestliže je směrový vektor přímky s rovinou rovnoběžný pak může rovině náležet nebo ležet mimo ni.
Vzájemná poloha dvou rovin v prostoru
-
- rovnoběžné roviny mají lineárně závislé směrové nebo normálové vektory.
- pokud jsou roviny různoběžné pak vzniká průsečnice.
- dvě roviny v prostoru nemohou být nikdy mimoběžky.
Analytická geometrie v prostoru – co si určitě musíte zapamatovat?
-
- umíte napsat parametrické vyjádření přímky a roviny?
- umíte zjistit vzájemnou polohu dvou přímek v prostoru?
- umíte zjistit vzájemnou polohu dvou rovin v prostoru?
- umíte zjistit vzájemnou polohu přímky a roviny v prostoru?
V případě, že si na všechny otázky odpovídáte ano, pak můžete přejít k dalšímu učivu.
Matematika online – odkazy, které se Vám mohou hodit
-
- Úvodní stránka – Matematika online
- Analytická geometrie v rovině
- Nejlepší angličtina online na www.Anglina.uNas.cz