Mocninné funkce

Matematika online – Funkce – Mocninné funkce – jedná se o funkce f: y = xⁿ, v tomto článku se postupně naučíte Mocninné funkce a jejich speciální případy: s přirozeným mocnitelem n = 1, s přirozeným mocnitelem n > 1, se záporným celým exponentem n < 0, kde n je liché číslo, se záporným celým exponentem n < 0, kde n je sudé číslo.

Obsah článku

• • Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem
  • Různé typy mocninné funkce
  • Nulový exponent
  • Kladný exponent
  • Záporný exponent
  • Řešené příklady

Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem

Zápis funkce:

f: y = xⁿ

S přirozeným mocnitelem máme několik speciálních případů, takže si je v následujících odstavcích postupně projdeme

Mocninná funkce s přirozeným mocnitelem n = 1

Zápis funkce:

f: y = x¹

Grafem této funkce je přímka a tuto funkci již znáte z funkcí lineárních protože:

y = x¹= x

Vlastnosti funkce f: y = x¹

• Funkce je lichá
• Funkce není shora omezená
• Funkce není zdola omezená
• Funkce je rostoucí
• Funkce je prostá
• Funkce nemá minimum
• Funkce nemá maximum
• Funkce je spojitá v celém oboru reálných čísel
• Definiční obor ( -∞; ∞)
• Obor hodnot ( -∞; ∞)

Mocninná funkce s přirozeným mocnitelem n > 1

Zápis funkce:

f: y = x²

f: y = x³

f: y = x⁴

f: y = x⁵

…

Grafem této funkce je parabola – v případě, že chcete doplnit přesnější údaj, tak se jedná o parabolu n-tého stupně

Vlastnosti funkce f: y = xⁿ, kde n >1

• Funkce je sudá
• Funkce není shora omezená
• Funkce je zdola omezená
• Funkce je rostoucí pro x v intervalu <0; ∞)
• Funkce je klesající pro x v intervalu ( -∞; 0>
• Funkce není prostá
• Funkce má minimum v bodě (0; 0)
• Funkce nemá maximum
• Funkce je spojitá v celém oboru reálných čísel
• Definiční obor (-∞ ; ∞)
• Obor hodnot <0 ; ∞)

Mocninná funkce se záporným celým exponentem n < 0, kde n je liché číslo

Zápis funkce:

f: y = x^-3 = 1 / x³

f: y = x^-5 = 1 / x⁵

f: y = x^-7 = 1 / x⁷

f: y = x^-9 = 1 / x⁹

…

Grafem této funkce je hyperbola – v případě, že chcete doplnit přesnější údaj, tak se jedná o hyperbolu n-tého stupně

Vlastnosti funkce f: y = xⁿ, kde n < 0 a zároveň n je liché číslo

• Funkce je lichá
• Funkce není shora omezená
• Funkce není zdola omezená
• Funkce je klesající pro x v intervalu ( -∞; 0) a pro x v intervalu (0; ∞)
• Funkce není rostoucí
• Funkce je prostá
• Funkce nemá minimum
• Funkce nemá maximum
• Funkce je spojitá pro x v intervalu ( -∞; 0) a pro x v intervalu (0; ∞)
• Definiční obor ( -∞; 0) a (0;∞)
• Obor hodnot ( -∞; 0) a (0; ∞)

Mocninná funkce se záporným celým exponentem n < 0, kde n je sudé číslo

Zápis funkce:

f: y = x^-2 = 1 / x²

f: y = x^-4 = 1 / x⁴

f: y = x^-6 = 1 / x⁶

f: y = x^-8 = 1 / x⁸

…

Grafem této funkce je hyperbola – v případě, že chcete doplnit přesnější údaj, tak se jedná o hyperbolu n-tého stupně

Vlastnosti funkce f: y = xⁿ, kde n < 0 a zároveň n je sudé číslo

• Funkce je sudá
• Funkce není shora omezená
• Funkce je zdola omezená
• Funkce je klesající pro x v intervalu (0; ∞)
• Funkce je rostoucí pro x v intervalu ( -∞; 0)
• Funkce není prostá
• Funkce nemá minimum
• Funkce nemá maximum
• Funkce je spojitá pro x v intervalu ( -∞; 0) a pro x v intervalu (0;∞)
• Definiční obor ( -∞; 0) a (0; ∞)
• Obor hodnot (0; ∞)

Exponent

Jedná se o matematickou operaci, kterou lze zapsat jako bⁿ. Tento zápis znamená, že číslo b budeme násobit n-krát. Tedy pokud máme číslo b = 4 a n = 5 potom y = bⁿ = 4 * 4 * 4 * 4 *4

Nulový exponent

V případě, že máme mocninnou funkci, kde n = 0 pak bude výsledek pro všechna b roven 1

y = b⁰ = 1

Speciální případ nulového exponentu je funkce, kdy se krom exponentu n = 0 rovná nule i číslo b = 0,

y = 0⁰ = … výsledek je na delší diskuzi – tedy existuje více vysvětlení jak tuto úlohu řešit a řekněme, že každá logika si to to počítá jak se jí to hodí.

Kladný exponent

Vzorce pro počítání mocnin s kladným exponentem:

b¹ = b

bⁿ+1 = b * bⁿ

(bⁿ)^m = bⁿ*^m

b^n+m = bⁿ * b^m

(b*c)^m = b^m * c^m

Záporný exponent

Vzorce pro počítání mocnin s kladným exponentem:

b¹ = b

b^-n = 1 / bⁿ

b^n+m = bⁿ * b^m

v případě, že n > 1, pak platí i vzorec:

b = bⁿ⁺¹ / bⁿ

pro nenulové b, platí ještě další vzorce:

b⁰ = b¹ / b = 1

b^-1 = b⁰ / b = 1 / b

b = bⁿ⁺¹ / bⁿ

b^-n = 1 / bⁿ

Matematika online – odkazy, které se Vám mohou hodit

• Úvodní stránka – Matematika online
• Funkce
• Nejlepší angličtina online na www.Anglina.uNas.cz