Mocninné funkce

Matematika online – Funkce – Mocninné funkce – jedná se o funkce f: y = xn, v tomto článku se postupně naučíte Mocninné funkce a jejich speciální případy: s přirozeným mocnitelem n = 1, s přirozeným mocnitelem n > 1, se záporným celým exponentem n < 0, kde n je liché číslo, se záporným celým exponentem n < 0, kde n je sudé číslo.

Obsah článku

Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem

Zápis funkce:

Mocninné funkce - Matematika online wwwMath.Kvalitne.cz -
Matematika online wwwMath.Kvalitne.cz – Mocninné funkce

f: y = xn

S přirozeným mocnitelem máme několik speciálních případů, takže si je v následujících odstavcích postupně projdeme

Mocninná funkce s přirozeným mocnitelem n = 1

Zápis funkce:

f: y = x1

Grafem této funkce je přímka a tuto funkci již znáte z funkcí lineárních protože:

y = x1= x

Vlastnosti funkce f: y = x1

  • Funkce je lichá
  • Funkce není shora omezená
  • Funkce není zdola omezená
  • Funkce je rostoucí
  • Funkce je prostá
  • Funkce nemá minimum
  • Funkce nemá maximum
  • Funkce je spojitá v celém oboru reálných čísel
  • Definiční obor ( -∞; ∞)
  • Obor hodnot ( -∞; ∞)

Mocninná funkce s přirozeným mocnitelem n > 1

Zápis funkce:

f: y = x2

f: y = x3

f: y = x4

f: y = x5

Grafem této funkce je parabola – v případě, že chcete doplnit přesnější údaj, tak se jedná o parabolu n-tého stupně

Vlastnosti funkce f: y = xn, kde n >1

  • Funkce je sudá
  • Funkce není shora omezená
  • Funkce je zdola omezená
  • Funkce je rostoucí pro x v intervalu <0; ∞)
  • Funkce je klesající pro x v intervalu ( -∞; 0>
  • Funkce není prostá
  • Funkce má minimum v bodě (0; 0)
  • Funkce nemá maximum
  • Funkce je spojitá v celém oboru reálných čísel
  • Definiční obor (-∞ ; ∞)
  • Obor hodnot <0 ; ∞)

Mocninná funkce se záporným celým exponentem n < 0, kde n je liché číslo

Zápis funkce:

f: y = x-3 = 1 / x3

f: y = x-5 = 1 / x5

f: y = x-7 = 1 / x7

f: y = x-9 = 1 / x9

Grafem této funkce je hyperbola – v případě, že chcete doplnit přesnější údaj, tak se jedná o hyperbolu n-tého stupně

Vlastnosti funkce f: y = xn, kde n < 0 a zároveň n je liché číslo

  • Funkce je lichá
  • Funkce není shora omezená
  • Funkce není zdola omezená
  • Funkce je klesající pro x v intervalu ( -∞; 0) a pro x v intervalu (0; ∞)
  • Funkce není rostoucí
  • Funkce je prostá
  • Funkce nemá minimum
  • Funkce nemá maximum
  • Funkce je spojitá pro x v intervalu ( -∞; 0) a pro x v intervalu (0; ∞)
  • Definiční obor ( -∞; 0) a (0;∞)
  • Obor hodnot ( -∞; 0) a (0; ∞)

Mocninná funkce se záporným celým exponentem n < 0, kde n je sudé číslo

Zápis funkce:

f: y = x-2 = 1 / x2

f: y = x-4 = 1 / x4

f: y = x-6 = 1 / x6

f: y = x-8 = 1 / x8

Grafem této funkce je hyperbola – v případě, že chcete doplnit přesnější údaj, tak se jedná o hyperbolu n-tého stupně

Vlastnosti funkce f: y = xn, kde n < 0 a zároveň n je sudé číslo

  • Funkce je sudá
  • Funkce není shora omezená
  • Funkce je zdola omezená
  • Funkce je klesající pro x v intervalu (0; ∞)
  • Funkce je rostoucí pro x v intervalu ( -∞; 0)
  • Funkce není prostá
  • Funkce nemá minimum
  • Funkce nemá maximum
  • Funkce je spojitá pro x v intervalu ( -∞; 0) a pro x v intervalu (0;∞)
  • Definiční obor ( -∞; 0) a (0; ∞)
  • Obor hodnot (0; ∞)

Exponent

Jedná se o matematickou operaci, kterou lze zapsat jako bn. Tento zápis znamená, že číslo b budeme násobit n-krát. Tedy pokud máme číslo b = 4 a n = 5 potom y = bn = 4 * 4 * 4 * 4 *4

Nulový exponent

V případě, že máme mocninnou funkci, kde n = 0 pak bude výsledek pro všechna b roven 1

y = b0 = 1

Speciální případ nulového exponentu je funkce, kdy se krom exponentu n = 0 rovná nule i číslo b = 0,

y = 00 = … výsledek je na delší diskuzi – tedy existuje více vysvětlení jak tuto úlohu řešit a řekněme, že každá logika si to to počítá jak se jí to hodí.

Kladný exponent

Vzorce pro počítání mocnin s kladným exponentem:

b1 = b

bn+1 = b * bn

(bn)m = bn*m

bn+m = bn * bm

(b*c)m = bm * cm

Záporný exponent

Vzorce pro počítání mocnin s kladným exponentem:

b1 = b

b-n = 1 / bn

bn+m = bn * bm

v případě, že n > 1, pak platí i vzorec:

b = bn+1 / bn

pro nenulové b, platí ještě další vzorce:

b0 = b1 / b = 1

b-1 = b0 / b = 1 / b

b = bn+1 / bn

b-n = 1 / bn

Matematika online – odkazy, které se Vám mohou hodit