Kvadratické funkce

Matematika online (hlavní strana) – Funkce – Kvadratické funkce – Kvadratická funkce se nazývá každá funkce, která je dána zápisem: y = ax2 + bx + c, kde x je libovolné reálné číslo.

Obsah článku

Úvod

V jiném článku se můžete dočíst o lineární funkci. V kvadratické funkci se přidáme ještě x2 a zbytek bude stejný jako u funkce lineární.

Definice kvadratické funkce

Kvadratické funkce - Matematika online www.Math.Kvalitne.cz
Matematika online www.Math.Kvalitne.cz Kvadratické funkce

Definice: Kvadratická funkce se nazývá každá funkce, která je dána zápisem:

y = ax2 + bx + c,

kde x je libovolné reálné číslo.

ax2 … kvadratický člen

bx  … lineární člen

c   … absolutní člen

Aby byla kvadratická funkce opravdu kvadratická musí platit, že se kvadratický člen a 0. Pokud by tomu tak bylo, tak nám vznikne: y = 0x2 + bx + c = bx + c, což je stejný zápis, jako byl u lineární funkce. Tedy bez členu ax2 nejde vůbec o kvadratickou funkci.

Dalším členem je bx, což jak již bylo uvedeno výše je lineární člen a v tomto případě je již přípustné, aby se b = 0. Vznikne nám funkce: y = ax2 + 0x + c = ax2 +  c, což je speciální případ kvadratické funkce.

Posledním členem c, je absolutní člen a stejně jako lineární člen i absolutní člen c se může rovnat nule. Opět nám jen vznikne speciální případ kvadratické funkce

Funkce je kvadratická i v případě, že se b = 0 a současně c = 0.

Graf kvadratické funkce

Grafem každé kvadratické funkce je parabola, která má osu rovnoběžnou s osou y.

Vrchol kvadratické funkce

Vrchol této paraboly, která je grafem kvadratické funkce

y = ax2 + bx + c

má souřadnice [x0,y0], kde

    x0 = -b / 2a

    y0 = c – (b2 / 4a).

Průsečíky s osou x

Z minulého odstavce již víte, jak vypočítat vrchol kvadratické funkce a další důležité body, které se mohou v praxi hodit, jsou průsečíky s osou x. Výpočet průsečíků je docela jednoduchý. Všechny body, které prochází osou x musí mít y-novou souřadnici nulovou. Tedy y = 0. Pokud tedy do zápisu kvadratické funkce: y = ax2 + bx + c, dosadíme za y = 0 dostaneme kvadratickou rovnici (odkaz na podrobný článek o řešení kvadratické rovnice): 0 = ax2 + bx + c. A pak řešíme rovnici o jedné neznámé a neznámou je x. Než budete číst dále, tak se zkuste zamyslet, kolik bude mít kvadratická funkce průsečíků s osou x? V příkladech si později ukážeme všechny možnosti.

Než dojdeme k souřadnicím průsečíků, tak mezi výpočtem je výpočet tak zvaného diskriminantu D kvadratické rovnice. D = b2 – 4ac. Podle výsledku D lze určit kolik má kvadratická rovnice kořenů:

  • je-li D > 0 … pak x1,2 = (-b±√(D))/(2*a) … výsledkem jsou kořeny x1 a x2
  • je-li D = 0 … pak x1,2 = (-b±√(D))/(2*a) … Výsledkem je dvojnásobný kořen x1,2

 

Praktický příklad pro výpočet průsečíků kvadratické funkce s osou x:

Vypočítejte průsečíky kvadratické funkce, která je dána zápisem: y = x2 – 16.

Výpočet:

Pro výpočet použijeme návod uvedený nahoře:

Místo y dosadíme 0 a získáme tak kvadratickou rovnici: 0 = x2 – 16

x2 =16

x1,2 = 4, -4

Omezení kvadratické funkce

Každá kvadratická funkce je omezena, buď zdola nebo shora. Co to znamená, se dočtete v dalších odstavcích.

Omezení zdola

Omezení kvadratické funkce zdola znamená, že všechny hodnoty kvadratické funkce jsou nad vrcholem kvadratické funkce.

Že bude kvadratická funkce omezena zdola, můžete poznat hned na první pohled ze zápisu funkce. V případě, že a > 0, je kvadratická funkce omezena zdola.

Kvadratickou funkci, která je omezena zdola můžete vidět na následujícím grafu: ODKAZ

Omezení shora

Omezení kvadratické funkce shora znamená, že všechny hodnoty kvadratické funkce jsou pod vrcholem kvadratické funkce.

Že bude kvadratická funkce omezena shora, můžete poznat hned na první pohled ze zápisu funkce. V případě, že a < 0, je kvadratická funkce omezena shora.

Kvadratickou funkci, která je omezena shora můžete vidět na následujícím grafu: ODKAZ

Konvexnost a konkávnost kvadratické funkce

V následujících odstavcích se dočtete, jak poznat konvexnost a konkávnost kvadratické funkce. Stejně jako v minulém odstavci je i konvexnost a konkávnost závislá na hodnotě kvadratického členu a.

Konvexní kvadratická funkce

Kvadratická funkce je konvexní v případech, kdy je a > 0. A co tento pojem vlastně znamená? Na grafu funkce to poznáte na první pohled. Jsou to kvadratické funkce, které jsou vyklenuté směrem nahoru. Memotechniká pomůcka pro ty, co se jim tyto pojmy pletou: „Do konvexní si paradoxně kávu můžete nalévat“.

Kvadratickou funkci, která je konvexní můžete vidět na následujícím grafu: ODKAZ

Konkávní kvadratická funkce

Kvadratická funkce je konkávní v případech, kdy je a < 0. A co tento pojem vlastně znamená? Na grafu funkce to poznáte na první pohled. Jsou to kvadratické funkce, které jsou vyklenuté směrem dolu. Memotechniká pomůcka pro ty, co se jim tyto pojmy pletou: „Do konkávní si kávu nenaleješ“.

Kvadratickou funkci, která je konkávní můžete vidět na následujícím grafu: ODKAZ

Řešené příklady

Seznam řešených příkladů:
001 – Řešený příklad číslo 001
002 – Řešený příklad číslo 002
003 – Řešený příklad číslo 003
004 – Řešený příklad číslo 004
005 – Řešený příklad číslo 005
006 – Řešený příklad číslo 006
007 – Řešený příklad číslo 007
008 – Řešený příklad číslo 008
009 – Řešený příklad číslo 009
010 – Řešený příklad číslo 010
011 – Řešený příklad číslo 011

 

Řešený příklad číslo 001

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 002

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 003

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 004

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 005

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 006

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 007

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 008

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 009

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 010

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 011

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

Pokračovat ve studiu na Matematika online:

Angličtina online a zdarma:

Nejlepší Anglina.uNas.cz – potřebujete vyřešit domácí úkol? Nebo si jen procvičit angličtinu před písemkou? Slovíčka rozdělená podle témat, gramatika (anglické časy a tvary sloves, přídavná jména, podstatná jména, zájmena … ), testy na procvičení … téměř u každé gramatiky máme testy na procvičení. Výsledky testů budete mít ihned po dokončení testu bez registrace!