Průběh funkce

Matematika onlineDiferenciální početPrůběh funkce – rostoucí a klesající funkce, lokální extrémy, konvexnost a konkávnost, inflexní bod, řešené příklady.

Obsah článku

Funkce rostoucí a klesající v daném intervalu

    • Je-li první derivace funkce v bodě A > 0 pak je tato funkce v bodě A rostoucí.
    • Je-li první derivace funkce v bodě A < 0 pak je tato funkce v bodě A klesající.

Funkce je rostoucí či klesající v daném intervalu je-li rostoucí či klesající v každém bodě daného intervalu.

Postup pro vyšetření monotónnosti(rostoucí, klesající) funkce:

Výpočet první derivace.

Určení nulových bodů první derivace (řešením rovnice). Pak známe lokální maxima a minima funkce.

Pomocí nulových bodů stanovíme intervaly monotónnosti.

Nakonec podle hodnoty první derivace rozhodneme o růstu nebo poklesu funkce na všech intervalech funkce.

Lokální extrémy funkce

    • Je-li f'(x0) = 0 a f“(x) > 0 má funkce v bodě x0 lokální minimum.
    • Je-li f'(x0) = 0 a f“(x) < 0 má funkce v bodě x0 lokální maximum.

Lokální maxima a lokální minima jsou lokální extrémy funkce.

Vrcholy grafu funkce

Při zjišťování vrcholů grafu funkce nejdříve vypočítáme první derivaci funkce. Výslednou funkci potom položíme rovnu nule a řešíme tuto rovnici. Výsledkem rovnice jsou stacionární body. Dosazením stacionárních bodů do původní funkce dostaneme y-nové souřadnice a zjistíme tak souřadnice vrcholů funkce.

Konvexní a konkávní funkce

    • funkce f(x) je v bodě A konkávní je-li druhá derivace funkce v bodě A <0.
    • funkce f(x) je v bodě A konvexní je-li druhá derivace funkce v bodě A >0.

Funkce je konkávní či konvexní v daném intervalu je-li konkávní či konvexní v každém bodě daného intervalu.

Inflexní bod – Průběh funkce

Inflexní bod je takový ve kterém se funkce mění z konkávní na konvexní nebo z konvexní na konkávní. Inflexní bod x0 je nulovým bodem druhé derivace funkce. Druhá derivace mění při průchodu x0 znaménko. Zároveň musí existovat třetí derivace různá od nuly.

Řešené příklady na průběh funkce

Nalezněte extrémy funkce f(x) = x3 + 6*x2

Nejprve si vypočítáme první derivaci funkce f(x):
f(x)‚ = 3*x2 + 12*x
Ptáte se proč zrovna první derivaci? Odpověď je jednoduchá, pokud víte, že derivace funkce v bodě je vlastně směrnice tečny funkce v daném bodě. My hledáme body, kde je směrnice tečny rovna nule. Jsou to body, kde se funkce mění z rostoucí na klesající nebo naopak. Tyto body jsou zároveň lokální maxima a minima. Abychom tyto body našli stačí položit první derivaci f(x)‚ = 0 a vyřešit rovnici pro x:
0 = 3*x2 + 12*x
0 = x*(3*x + 12) Teď už je vidět, že jeden bod bude x = 0 a druhý x = -4.
Tyto body nám rozdělí obor reálných čísel na intervaly:
(-∞, -4), (-4,0) a (0, +∞)
Dále si vypočítáme druhou derivaci f(x):
f(x)“ = 6*x + 12
nyní máme druhou derivaci a dosazením stacionárních bodů (x = 0, x = -4) do f(x) můžeme zjistit zda jde o lokální maximum nebo lokální minimum.

f(-4)“ = 6*(-4) + 12 = -12f(x)“ < 0 jde o lokální maximum
f(0)“ = 6*(0) + 12 = 12 f(x)“> 0 jde o lokální minimum.

Graf průběh funkce:

Průběh funkce - Vyšetření průběhu funkce - Matematika online www.Math.Kvalitne.cz Diferenciální počet -
Matematika online www.Math.Kvalitne.cz Diferenciální počet – Průběh funkce – Vyšetření průběhu funkce

Řešené příklady – Průběh funkce

Seznam řešených příkladů – Průběh funkce:
001 – Řešený příklad číslo 001
002 – Řešený příklad číslo 002
003 – Řešený příklad číslo 003
004 – Řešený příklad číslo 004
005 – Řešený příklad číslo 005
006 – Řešený příklad číslo 006
007 – Řešený příklad číslo 007
009 – Řešený příklad číslo 009
010 – Řešený příklad číslo 010

 

Řešený příklad číslo 001

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 002

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 003

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 004

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 005

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 006

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 007

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 009

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

 

Řešený příklad číslo 010

 

Všechny řešené příklady lze zdarma stahovat v pdf na Matematika online – www.Math.Kvalitne.cz

Pokračovat ve studiu na Matematika online:

Angličtina online a zdarma:

Potřebujete se rychle naučit anglicky? Stránka Nejlepší Anglina.uNas.cz Vám s tím jistě pomůže.