Derivace funkce - Matematika online - na www.Math.Kvalitne.cz

Matematika online – Diferenciální počet – Derivace funkce – definice derivace, souvislost derivace a posloupnosti, druhá a vyšší derivace funkce, vzorce na derivace, Geometrický a fyzikální význam derivace funkce.

Obsah článku

- Derivace funkce v bodě a množině
- Druhá a vyšší derivace
- Derivační vzorce a pravidla
- Derivační metody
- Geometrický význam derivace
- Fyzikální význam derivace
- Řešené příklady

Derivace funkce v bodě a množině

Bod funkce y = f(x) je definován jako x₀. Funkce f(x) má v bodě x₀ derivaci existuje-li v bodě x₀ limita:

lim(x->x₀) ( (f(x)-f(x₀)) / (x-x₀) ).

Výsledkem derivace funkce v bodě je číslo. Toto číslo je zároveň směrnice funkce v daném bodě.

Má-li funkce f(x) v každém bodě x náleží M derivaci f'(x) pak je na množině M definována funkce, která každému bodu x z množiny M přiřazuje derivaci f'(x) v bodě x. Tuto funkci označujeme f'(x) a nazýváme ji derivace funkce na množině.

Druhá a vyšší derivace

Pokud počítáme druhou a vyšší derivaci funkce f(x) pak funkci jednoduše derivujeme podle počtů požadovaných derivací.

Derivační vzorce a pravidla

Derivace funkce - Matematika online www.Math.Kvalitne.cz Diferenciální počet - Derivace funkce — Matematika online www.Math.Kvalitne.cz Diferenciální počet – Derivace funkce

Vzorce používající se pro výpočet derivací:

(c)‘ = 0

(xⁿ)‘ = n*x^n-1

(c*u)‘ = c * (u)‘

(u+v)‘ = (u)‘ + (v)‘

(u*v)‘ = (u)’*v + u*(v)‘

(u/v)‘ = ((u)’*v – u*(v)‘) / v²

(1/v)‘ = -v‘ / v²

(sin(x))‘ = cos (x)

(cos(x))‘ = -sin(x)

(tg(x))‘ = 1/ cos²(x)

(cotg(x))‘ = -1/ sin²(x)

(e^x)‘ = e^x

(a^x)‘ = a*ln a

(ln(x))‘ = 1/x

(log(x))‘ = 1/ (x*ln10)

Derivační metody

Složené derivace- derivace složené funkce je rovna součinu derivací na než lze složená funkce rozložit.

Logaritmická derivace- nejprve musíme funkci upravit podle logaritmických vět potom teprve můžeme derivovat.

Geometrický význam derivace

Derivace funkce v daném bodě značí směrnici tečny ke grafu funkce v tomto bodě.

Fyzikální význam derivace

Derivace dráhy s‘ je rychlost v.

Derivace rychlosti v‘ je zrychlení a.

Druhá derivace dráhy s“ je zrychlení a.

Derivace funkce řešené příklady

Seznam řešených příkladů:
001 – Řešený příklad číslo 001
002 – Řešený příklad číslo 002
003 – Řešený příklad číslo 003
004 – Řešený příklad číslo 004
005 – Řešený příklad číslo 005
006 – Řešený příklad číslo 006
007 – Řešený příklad číslo 007
008 – Řešený příklad číslo 008
009 – Řešený příklad číslo 009
010 – Řešený příklad číslo 010